小數定律

小數定律認為人類行為本身並不總是理性的，在不確定性情況下，人的思維過程會系統性地偏離理性法則而走捷徑，人的思維定勢、表象思維、外界環境等因素，會使人出現系統性偏見，採取並不理性的行為。大多數人在判斷不確定事件發生的概率時，往往會違背概率理論中的大數定律，而不由自主地使用“小數定律”，即濫用“典型事件”，忘記“基本概率”。

小數定律是人有把從大樣本中得到的結論錯誤地移植到小樣本中的傾向。比如人們知道擲硬幣的概率是兩面各50% ，於是在連續擲出5個正面之後就傾向於判斷下一次出現反面的幾率較大。這一點已被大量的實驗和證券市場上的錯誤預測所證實。 ^[1] 

卡尼曼和特維爾斯基發現，不確定性下的推斷系統地偏離於傳統經濟理論提出的理性類型。卡尼曼和特維爾斯基的早期工作基於這樣的基本觀點：總的來説，人們通常沒有能力對環境做出經濟學的和概率推斷的總體嚴格分析。人們的推斷往往靠的是某種頓悟或經驗，所以經常導致系統性偏差。

一類基本偏差是人總是傾向於運用小數法則，認為小樣本和大樣本的經驗均值具有相同的概率分佈，其實這違反了概率理論中的大數原則。例如，在一個著名的實驗中，參與人認為某一給定時間在大醫院內誕生的嬰兒有60%是男孩，則一家小醫院內情況必定相同。通常，人們好像都認識不到隨着樣本規模的擴大，隨機變量的樣本均值的方差減小的有多快。

更準確地説，根據統計學的大數法則，獨立觀察某隨機變量的一個大樣本，其均值的概率分佈集中體現這一隨機變量的預期值，隨着樣本規模的變大，樣本均值的方差趨近於0。

但是，按照人類心理的小數法則，人們確信隨機變量期望值的分佈也會反映在小樣本的樣本均值之中。這導致對短序列的獨立觀察值做了過度推論(overinference)。

小數法則的案例之一是，當投資者觀察到一位投資經理在過去兩年表現好於其他人，就總結説這位經理水平要高一些，而這一結論的統計含義太弱。另一個相關的例子稱為“賭博者謬誤”：許多人都經常預期一個隨機賭局的第二輪會得到與第一輪相反的結果，而實際上，每一輪在統計上都是獨立的。如果一項投硬幣遊戲前若干輪出現太多的“頭像”，那麼許多參與者確信下一輪便應該是“文字”了。

小數法則還與相似性(representativeness)相關，這種相似性是形成推斷的重要因素。特維爾斯基和卡尼曼在一些精美的實驗中表述了這種經驗推斷方程。參與人被要求以已知的描述為基礎將人進行分類，如區分銷售人員或議員等。對於一個給定羣體中隨機抽取的某個人，當給他的描述是“對政治感興趣，樂於參與辯論，渴望出現在媒體上”時，許多參與人判斷説是議員。即使這個羣體中，銷售員更具備這種特徵。特維爾斯基和卡尼曼(1973)深入地考察了這種經驗推斷式的思考方式，在他們的實驗中，一些參與者得到有關羣體構成的確切信息。一類設計中羣體由30%的工程師和70%的律師組成，另一類設計中羣體構成比例相反。實驗的結果是這種差異對參與者的推斷不會產生真正的影響。

經驗推斷也會令人們相信兩個事件的聯合概率高於其中的事件之一發生的概率，這與概率理論的基本定理相悖。例如，某實驗中的參與者就認為如果Bjorn Borg闖入温布爾登決賽，則相對於輸掉第一盤的結果，他輸掉第一盤而贏得冠軍的結果更可能出現。

Shleifer(2000)的回顧行為金融理論的文章認為，小數法則和相似性推斷可以解釋金融市場中的某些反常現象。例如，對股價變動的過分敏感可能是投資者對短期利好信息的過度反應的結果。

概率推斷中的另一種常見偏差是可利用性(availability)偏差，指人們通過不費力地回想出的例子來進行概率推斷，結果導致賦予那些易見的、容易記起的信息以過大的比重。比如，人們總是在親身獲知某人在一座城市中被謀殺時，高估這座城市的犯罪率。認知心理學通常認為，與不熟悉的信息相比，熟悉的信息更容易被憶起，也更讓人相信其真實性和相關性。熟悉和可得性於是成為真切和相關性的暗示。 ^[2] 

小數定律是關於 “無窮小隨機變量之和的極限分佈，是廣義泊松分佈的極限定理的總稱。獨立重複試驗中的稀有事件(小概率事件)出現次數的極限分佈是泊松分佈，是小數定律的重要特例。

小數定律，因涉及無窮小隨機變量之和或稀有事件出現次數的極限分佈而得名，並非大數定律的對稱。

概率論的基本定律之一，指關於大量的隨機現象具有穩定性質的法則。它説明，如果被研究現象的總體是由大量的相互獨立的隨機因素所形成的，而且每個隨機因素對總體的影響都相對地比較小，這時對大量因素加以綜合平均，上述因素的個別影響就將互相抵消並顯現出它們共同作用的傾向，使總體具有穩定的性質。大數定律的涵義具體可歸納為以下四個方面：(一)現象的某種總體性規律，當將具有這種現象的足夠多的單位加以綜合彙總的時候，這種規律才能夠明顯地顯示出來；(二)現象的總體性規律通常是以平均數的形式表現出來的；(三)所研究現象的總體包含的單位數越多，平均數也就越能正確地反映出這些現象的普遍規律性；(四)各單位的共同傾向決定着平均數的水平，而各單位對平均數的離差則會由於足夠多數單位綜合彙總的結果而相互抵消，表現為趨向於消失。就抽樣推斷而言，大數定律則證明：如果由隨機變量構成的總體存在着有限的平均數和方差，則對於充分大的抽樣單位數n(一般指n>30)，將會有幾乎趨近於1的概率，期望抽樣平均數與總體實際平均數的絕對離差為趨近於0。