導出設計

導出設計的具體構作方法如下：若一個

的區組為

，取定其中一個區組B_j，對其餘區組

，記

，且

，則

是一個

，稱這個設計為原對稱設計的一個導出設計 ^[1]  。

引理1(Ryser)設A是某個

的關聯矩陣且k<v。則

定理2設D=(V B)為一個

。A為其關聯矩陣。則 ^[2] 

由定理2可得到一系列重要結論，特別由式(1)可知。在一個

中。任意兩個不同區組都恰好包含λ個公共元。再結合等式

可知

的對偶結構也是一個

。

定理3設k<v，若

存在，則

-與

也都存在。此處

。

證設D=(V,B)P為

，A為其關聯矩陣，不妨設A的第一列中前k個元素為1，於是可將A作如下分塊：

其中A₁為

矩陣。A*為

矩陣,由式(1)知。A的第一列與其餘各列的內積均為λ，從而A₁中各列的列和均為λ，A*中各列的列和均為k-λ，由式(2)，A中任意兩個不同的行的內積都是λ。因此A₁中任意不同兩行的內積為λ-1,而A*中任意不同兩行的內積仍為λ，從而

即A₁為某個B(k'，λ'；v')的關聯矩陣。而A*則為某個B(k-λ，λ；v-k)的關聯矩陣,這個B(k'，λ'；v')叫做D的導出設計(derived design)。而這個B(k-λ，λ；v-k)叫做D的剩餘設計(residual design)。

上面給出的構作法。其實就是取定B₀∈B。令

則(V',B')便是D的導出設計，

便是D的剩餘設計。

若v,k與λ滿足條件

，設D*為一個B(k-λ，λ；v-k)，則稱D*為一個擬剩餘設計(quasi residual design) ^[2]  。