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對角論證法
鎖定
- 中文名
- 對角論證法
- 外文名
- Cantor's diagonal argument
- 提 出
- 喬治·康托爾
- 目 的
- 用於説明實數集合是不可數集
- 屬 性
- 數學方法
對角論證法論證法
對角線法並非康託關於實數不可數的第一個證明，而是發表在他第一個證明的三年後。他的第一個證明既未用到十進制展開也未用到任何其它數字系統。自從該技巧第一次使用以來，在很大範圍內的證明中都用到了類似的證明構造方法。
對角論證法簡介
對角論證法證明實數集合為不可數集
康託的原始證明表明區間[0，1]中的點數不是可數無窮大。該證明是用反證法完成的，步驟如下：
- 假設(從原題中得出)區間[0，1]中的點數是可數無窮大的
- 於是乎我們可以把所有在這區間內的數字排成數列, (r1,r2,r3,...)
- 已知每一個這類的數字都能以小數形式表達
- 我們把這些數字排成數列(這些數字不需按序排列; 事實上，有些可數集, 例如有理數也不能按照數字的大小把他們全數排序，但單只是成數列就沒有問題的)在部份有多種表達形式的數字上，例如0.499 = 0.500, 我們選擇前者.
- 如果該數列小數形式表現如下:
r1 = 0 . 5 1 0 5 1 1 0
r2 = 0 . 4 1 3 2 0 4 3
r3 = 0 . 8 2 4 5 0 2 6
r4 = 0 . 2 3 3 0 1 2 6
r5 = 0 . 4 1 0 7 2 4 6
r6 = 0 . 9 9 3 7 8 3 8
r7 = 0 . 0 1 0 5 1 3 5...
6.考慮rk小數點後的第k個位，為了方便起見, 我們底間並粗體這些數字，從下表你應明白為什麼這個證明被稱為對角論證法
r1 = 0 . 5 1 0 5 1 1 0
r2 = 0 . 4 1 3 2 0 4 3
r3 = 0 . 8 2 4 5 0 2 6
r4 = 0 . 2 3 3 0 1 2 6
r5 = 0 . 4 1 0 7 2 4 6
r6 = 0 . 9 9 3 7 8 3 8
r7 = 0 . 0 1 0 5 1 3 5...
7.我們設一實數x, 其中x是以以下的方式定義的
如果rk的第k個小數位等於5,那麼x的第k個小數位是4
如果rk的第k個小數位不等於5,那麼x的第k個小數位是5
8.明顯地x是一個在區間[0，1]內的實數，以之前的數為例, 則相對應的x應為 0 . 4 5.5 5 5 5 4
9.由於我們假設(r1,r2,r3,...)包括了所有區間[0, 1]內的實數，所以一定有一個rn = x
10.但由於x的特殊的定義，這使得x和rn的第n個小數位是不同的，所以x 不屬於(r1,r2,r3,... )
11.所以(r1,r2,r3,...)並不能羅列所有區間[0, 1]內的實數，這發生了矛盾。
12.所以在第一點內所提出的假設"區間[0，1]中的點數是可數無窮大的"是不成立的。
