对称定理

证明： 先证明第一个等价关系 依p(xo+x)=p(xo-x)，两边求导就有 p'(xo+x)+p'(xo-x)=0, 再来证明由后者必然能推到前者 由于先决条件，p(x)图像上必然存在（xo,p(xo))， 若欲证p(xo-x)=p(xo+x)考虑积分形态 p(xo-x)=p(xo)-∫（x0-x,xo）p'(x)dx p(xo+x)=p(xo)-∫(xo+x,xo) p'(x)dx 两式相减便有 p(xo+x)-p(xo-x)=∫(x0-x,xo)p'(x)dx-∫(xo+x,xo)p'(x)dx=∫(xo-x,xo+x)p'(x)dx 注意到p'(xo+x)dx=-p'(xo-x)dx 得出∫(xo-x,xo+x)p'(x)dx=0 于是p(xo+x)-p(xo-x)=0 证出p(xo+x)=p(xo-x) 再来证明第二个等价关系 因p(xo+x)+p(xo-x)=c 对方程两边求导就有 p'(xo+x)=p'(xo-x) 接着证明由后者必然能推到前者 若欲证p(xo+x)+p(xo-x)=c，依然考虑积分形态 p(xo+x)=∫(xo,xo+x)p'(x)dx +p(xo) p(xo-x)=∫(xo,xo-x)p'(x)dx+p(xo) 两式相加便有 P(xo+x)+p(xo-x)=∫(xo,xo+x)p'(x)dx-∫(xo-x,xo)p'(x)dx+2P(xo) 注意到p'(xo+x)=p'(xo-x) 得出∫(xo,xo+x)p'(x)dx-∫(xo-x,xo)p'(x)dx=0 即p(xo+x)+p(xo-x)=2P(xo) 令p(xo)=c/2 证出p(xo+x)+P(xo-x)=c

对于对称轴为xo函数p(x)，由于它的导数p'(x)关于(xo,0)中心对称，在p'(x)图像上取关于其对称的两点，图像从xo到这两点与x轴围成的面积大小相等，增量的正负相反，决定了p(xo+x)和p(xo-x)的值必然相同 对于对称中心为(xo,c/2)的函数p(x)同理可以解释，但由于增量的正负是相同的，决定了p(xo+x)-c/2=c/2-p(xo-x)这一事实

利用我们已经推出的式子 p(xo+x)=p(xo-x)<=>p'(xo+x)+p'(xo-x)=0 p(xo+x)+p(xo-x)=c <=> p'(xo+x)=p'(xo-x) 注意到我们推广到2n和2n-1阶导数情形的表达式已经不再具备等价性，即由后者不再能直接推到前者 譬如，若我们已知函数p(x)，（设它存在的最高阶导数的阶数足够大或者无穷）它满足 p2n(xo+x)=p2n(xo-x) 利用上式我们可以推到 p2n-1(xo+x)+P2n-1(xo-x)=c 但由于c不一定等于0，我们无法由上式继续递推到p2n-2(xo+x)=P2n-2(xo-x) 因此，若欲推得p(x)关于xo对称，必须让它的2n-1阶到1阶为止的所有奇数阶导数满足c=0，即有下式成立 p2k-1(xo)=0 k=1,2,.....n 便建立起普遍存在的充分必要条件 pn(x)满足pn(x+xo)+pn(xo-x)=0或者pn(xo+x)=pn(xo-x) 且pk(xo)=0 k=n,n-2,n-4,.....kmin (kmin为与n奇偶性相同的最小正整数）或者pk(xo)=0,k=n-1,n-3,....kmin(kmin为与n奇偶性相异的最小正整数 若称上述条件为对称条件， 则对称条件是p(x)具有对称性的充分必要条件 对称条件也将成为普遍适用于判定任何符合先决条件的函数是否具有对称性的判别法

对称定理尤其适用于形如p(x)=a0+a1x+a2x^2+.....anx^n的n次函数 依对称定理，我们知道当n≥4时，p(x)将不一定具有对称性（按照我们上面所说的，c不一定为0） 利用对称定理，我们还可以知道，偶数次函数不可能有对称中心，奇数次函数不可能有对称轴，并且它们的对称轴（或者对称中心）都最多只有一个 我们利用归谬法来证明这一结论 假设p(x)为奇数次函数，且它存在对称轴，依对称定理，它的任何偶数阶导数也将有着相同的对称轴 但pn-1(x)=(n-1)！a(n-1)+n!anx，而它不可能有对称轴 故假设不成立，便证明了结论 同理可以证明p(x)是偶数次函数的情形 依对称定理，无论n是奇数或者偶数，若p(x)关于x=xo对称或者关于（xo,c/2)对称都将有 pn-1(xo)=0 而pn-1(xo)=(n-1)!a(n-1)+n!anx，它只有唯一一个零点 于是对于任意n次函数，它们都将最多只有一个对称轴或者对称中心 此外利用上式，我们立即得出一个有用的结论 无论p(x)关于x=xo对称或者关于(xo,c/2）中心对称， xo必然是方程(n-1)！a(n-1)+n!anx=0的根 即xo=-a(n-1)/nan 在这里我们要同样指出，xo的表达式不止一个，由对称条件我们已经知道xo也必然同样是p(x)某些其他阶导数的零点，而用那些方程表达这一零点，将会用到除an,an-1以外的其他系数，只不过我们在这里写出了最简单的情形。 上面的结论同样表明，对于对称函数p(x)，它的系数之间必然存在联系，已知它的若干项系数之后便可以推出其余项系数满足的条件，于是必然可以把它的某些系数用其他系数表达，甚至在一定条件下写出an的通项公式，而这也是忍风佐助尚未解决的问题之一。 最后对于n次函数p(x)，建立判别法 首先假设p(x)存在对称轴或者对称中心 其次写出xo=-a(n-1)/nan 最后依对称条件检验xo是否能使相应阶的导数值为0 若满足对称条件，立即推出它是对称函数 实际上，在检验过程可以通俗地描述为，判定xo是否为p(x)各个奇数次幂导数的零点。