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射影測度
鎖定
射影測度(projective measure)是射影幾何的一個術語，距離的射影測度(射影距離)和夾角的射影測度(射影角度)合稱為射影測度。射影測度是凱萊(A.Cayley)於1859年建立的，1871年，克萊因(C.F.Klein)利用射影測度的概念來説明非歐幾何學。非退化的二階曲線有實虛兩種情況，若絕對形為非退化的實二階曲線，則可構成羅氏幾何；若絕對形為非退化的虛二階曲線，則可構成黎氏幾何，這兩種幾何合稱非歐幾何，這樣非歐幾何就可以從射影測度的概念導出，因為射影測度是由交比來定義的，它屬於射影性質，所以非歐幾何可以利用射影測度從射影幾何導出
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- 中文名
- 射影測度
- 外文名
- projective measure
- 所屬學科
- 數學
- 所屬問題
- 高等幾何(非歐幾里得幾何)
- 提出者
- 凱萊(A.Cayley)
射影測度基本介紹
1859年A.凱萊將拉蓋爾思想進一步發揮，得到角的射影測度的概念。將拉蓋爾公式中的一對圓點，看作是變態(退化)的二級曲線，並以常態（非退化）二級曲線來代替。1871年F.克萊因首先發明使用射影測度來説明非歐幾何。簡單來説，他在復射影平面上的實絕對形內部，規定了一些具體概念，定義射影測度後，作成了一個羅氏幾何的射影模型即克萊因模型，在這個模型裏。羅氏幾何的全部公理都能夠得到解釋，因而羅氏幾何的全部概念和定理都能在模型中體現出來
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射影測度相關概念與定理
在平面內，取定一條常態二級曲線
，並選定一常數k(k≠0)。對於平面內的任意兩條直線a、b，從它們的交點引
的兩條切線t1、t2(圖1)，作函數
圖1
1．
，
2．
；
3．若直線a、b、c相交於一點，則
下面我們研究射影角度的表達式。
設二級曲線
(給定的絕對形)的方程為
所以
對偶地，我們可以規定兩點間距離的射影測度。在平面內，給定一條常態的二階曲級
，並選定一常數K(K≠0)。對於平面內的任意兩點A、B，它們的連線交二階曲線
於P1、P2(圖2)，作函數
圖2
函數d(A，B)被A、B兩點唯一確定(除符號外)，利用交比的性質，可以驗證函數d(A，B)滿足下列三個條件；
1．d(A，A)=0；
2．d(A，B)=-d(B，A)；
3．若麼、B、C是一直線上的三點，則d(A，B)+d(B，C)=d(A，C)。
設二階曲線
的方程為
由射影距離的定義還可以看出，當A(或B)
P1(或P2)時，交比(P1P2，AB)
0，d(A，B)
。因此有
定理1 平面上任何一點與絕對形上的任何點間的射影距離為無窮大。
由定理1可以看出，作為絕對形的二階曲線
與歐氏測度中的無限遠直線
相當。
定義3 設二直線的交點在實的絕對形上，則稱這二直線為平行直線。
關於射影角度，我們有如下的定理。
定理2 如果二直線的交點在絕對形上，則它們的夾角的射影測度等於零。
證明 若二直線a、b的交點在絕對形
上，過此交點所引的
的兩條切線重合為一條直線，即
，交比(tt，ab)=1。
