孤立波

以一定速度前行並且不變形的水波，既可以發生在河流，又可以發生在海中。它被成為“孤立波”(Solitary Wave).

孤立波是存在於自然界 (水面、大氣層、光學介質 、等離子體) 的一種獨特的波動現象 。它的特點是：行波單峯 、勻速 、不變形 、相 互作用時不受破壞。鑑於這種波動具有準粒子性 質 , 它又被稱為“ 孤立子 ”(Soliton)。 ^[1] 

1834年秋，英國科學家、造船工程師羅素在運河河道上看到了由兩匹駿馬拉着的一隻迅速前進的船突然停止時，被船所推動的一大團水卻不停止，它積聚在船頭周圍激烈地擾動，然後形成一個滾園、光滑而又輪廓分明的大水包，高度約為0.3～0.5米，長約10米，以每小時約13公里的速度沿着河面向前滾動。羅素騎馬沿運河跟蹤這個水包時發現，它的大小、形狀和速度變化很慢，直到3～4公里後，才在河道上漸漸地消失。羅素馬上意識到，他所發現的這個水包決不是普通的水波。普通水波由水面的振動形成，振動沿水平面上下進行，水波的一半高於水面，另一半低於水面，並且由於能量的衰減會很快消失。他所看到的這個水包卻完全在水面上，能量的衰減也非常緩慢(若水無阻力，則不會衰減並消失)。並且由於它具有圓潤、光滑的波形，所以它也不是激波。羅素將他發現的這種奇特的波包稱為孤立波，並在其後半生專門從事孤立波的研究。他用大水槽模擬運河，並模擬當時情形給水以適當的推動，再現了他所發現的孤立波。羅素認為孤立波應是流體力學的一個解，並試找到這種解，但沒有成功。

羅素十年後向英國科學促進會報告了自己的觀點，但卻沒能説服他的同事們，羅素所發現的孤立波現象也未能引起人們的注意。

60年以後，即1895年，兩位數學家科特維格與得佛里斯從數學上導出了有名的淺水波KdV方程，並給出了一個類似於羅素孤立波的解析解，即孤立波解，孤立波的存在才得到普遍承認。

在羅素逝世100週年即1982年,人們在羅素髮現孤立波的運河河邊樹起了一座羅素像紀念碑，以紀念148年前他的這一不尋常的發現。

當水質點僅在波浪傳播方向運動時，該種波浪稱為移動波，孤立波屬於這種類型。純粹孤立波的全部波剖面在靜水面以上，波長為無限，如圖3所示。設波峯沿正x方向傳播，當波峯位於水面質點t的左側很遠距離時，質點Z的運動可以忽略。隨着波峯的移近，質點1開始向上並向右移動。波峯經過時，質點正上升至最高位置;當波峯移去時，此質點傾斜下降，直至波峯傳至相當遠，此質點又恢復幾乎無運動的狀態，而位於水面點1‘的位置。質點1的軌跡為一拋物線，由於波峯經過而移動了一段水平距離1-1' 。質點2的軌跡和質點1的相似，其水平移動距離和1-1‘也大致相等，但上升的高度較質點1小。水底質點3則沿底而移至3'。在自然界中，純粹的孤立波是難於形成的。但河道中傳播的洪水波，或當波浪傳向近岸淺水區接近破碎時的波面形狀和運動特性與孤立波比較接近。因此在海洋工程中為研究波浪的破碎水深、泥沙運動以及分析破碎波對海工結構物的作用等問題中，孤立波理論得到了廣泛的應用。 ^[2] 

1、淺水特性 深水中不可 能產生 d K V 型孤立波 ;

2、波動性 最簡單的水波的恢復力機制是 重力 , 重 力導致水面的波動 ;

3、非線性必須計及水波傳播的非線性效應；適用於淺水的聖維南方程式線性的，所以不能產生孤立波解；

4、色散性必須考慮水波的色散性；

簡言之，Scott Russell發現的孤立波只能產生於淺水中，擋波動性、非線性和色散性達到某種平衡時，才會有孤立波的產生。 ^[3] 

1、波是定域的( 分佈在空間一定範圍內) ;

2、波在傳播過程中波形不隨時間變化 ；

3、孤立波間的相互作用呈現出“彈性碰撞”的特點 , 即在相互作用區( 碰撞區) 之外 ,孤立波保持形狀和速度

不變。 ^[4] 

在實驗室裏我們常利用淺水錶面行波來演示孤立波，一般情況下，試驗裝置如圖1

只要啓動水泵並使整個系統工作 , 適當調節水深和波高( 因當波高( a) 與水深( h) 之比增至一定值時( 0 . 78) ,波峯附近要出現破碎現象) ,使色散效應與非線性效應達到平衡 ,這樣就可以得到穩定的 、前進的波包 , 這就是孤立波了 。但這種裝置只能演示孤立波的形成 ,使學生們直觀地看到孤立波的傳播情況 。這僅僅是演示孤立波的初級階段即運動形象問題的演示 , 正如前面所述的 1845 年 Scott Russell 發現孤立波一樣 , 這種實驗並沒有演示出孤立子的本質特徵 — — —碰撞後孤立波的不彌散的問題即獨立運動問題 。

實際上我們可以對這個實驗裝置稍加改進 ,使它可以同時演示孤立波的各項獨特性質 , 具體地説 ,就是適當延長演示水槽部分 ,將上述裝置中的傳感器改為時間控制器 , 如圖2所示 .這樣時間控制器取代了傳感器 ,它與控制電路相配合 。我們再適當地調節水泵 ,使第一個孤立波向左傳播到水槽邊緣碰撞後返回向右傳播時 ,第二個孤立波已經形成行進 。它們會在水槽的中央部分碰撞 ,然後各自保持原有的速度與形狀繼續前進 , 於是 , 水槽中

將會反覆有兩列孤立波獨立地傳播 、碰撞 、再傳播 ,這就充分展現了孤立波的獨立性 。 ^[4]