子空間迭代法

對於大型特徵值問題，要求其全部特徵值是非常困難的，一般情況下也無必要。如大型結構，其動力自由度可能成千上萬，往往只需要前10~20階自由振動頻率，這時候就可用子空間迭代法。實踐證明，子空間迭代法是求解大型特徵值問題前幾階特徵值最有效的方法之一。子空間迭代法的基本思想是逆迭代法和瑞利一里茲法（Rayleigh-Ritz)的結合。 ^[1] 

子空間迭代法也稱同時迭代法，它是乘冪法的直接推廣，能同時求出模較大的一些特徵值和相應的特徵向量。與乘冪法的區別主要在兩個方面：第一，同時迭代法是同時用幾個（例如p個）線性無關的正交規範向量進行類似於乘冪法的迭代。若將選代向量看作一個p維子空間的（正交規範）基，則每迭代一次就得到一個新的子空間.第二，在迭代過程中應用Rayleigh-Ritz原理進行加速。因此，同時迭代法比乘冪法更便於進行自動計算，而且加快了收斂速度，它是求解大型、稀疏矩陣特徵值問題的最有效的方法之一。 ^[2] 

對於廣義特徵值問題

定義任一矢量的瑞利商如下：

瑞利商具有如下性質：

①

；

②當

取特徵矢量

時，瑞利商達到駐值，這個駐值就是對應的特徵值

。

證明：①將

用特徵向量

展開，即

將上式代入

式子中，並考慮特徵向量的正交性，有

由於

，所以

②將

式子對

求導，得

取駐值時，

，即

比較上式和

式子可知，當

時，

取駐值，這個駐值就是

。

用瑞利一里茲法，可以將

階廣義特徵值問題降為一個

階

廣義特徵值問題來求解。記

、

、

、

構成的空間為

，

、

、

、

構成的空間為

，

是全部特徵矢量空間

的一個子空間。任取一組線性無關的矢量

、

、

、

，如果

是子空間

的一個基底，則

內的任一矢量

都可由

的線形組合表示：

即：

其中

；

。

將

代入

式子中，得：

其中

、

稱為

、

在子空間

內的投影，即：

由於

所以，廣義特徵值問題

的前

個特徵值

、

、

、

、

（

式子的前

個駐值），就是

的

個駐值。

通過對

式子取

的駐值，即

，得到與

式子等價的廣義特徵值問題：

這樣，就將

階廣義特徵值問題轉化為

階廣義特徵值問題，減小了問題的規模。 ^[1]