多層線性模型

在社會科學研究中，調查得來的數據往往具有層次結構（ ^[1]  嵌套結構）的特點。在教育學與心理學的研究中這種情況尤為常見，如關於學業成績影響因素的研究中，我們可以考慮的預測變量有學生的入學成績、學生性別、學生的社會經濟地位、班級人數、班主任和任課教師、教室環境等，這些變量中有的是學生個體層面的變量，有的是班級層面的變量。這樣的數據具有兩個水平，第一水平是學生，第二水平是班級，學生嵌套於班級之中，稱之為分層數據。

對於多層數據，傳統的迴歸分析有兩種處理方法：

(1)將所有的更高一層的變量都看做是第一水平的 ^[2]  變量，直接在學生個體水平上對數據進行分析。這樣做存在的問題是，班級變量對同一個班級內的學生有相同的影響，不同班級學生對應不同的班級變量，而不區分班級對學生的影響，假設同一班級的學生間相互獨立是不合理的，同樣對不同班級的學生和相同班級的學生作同一假設也是不合理的。

(2)將第一水平的觀測直接合併為第二水平的觀測，然後直接對班級作分析，這樣做的主要問題是丟失了班級內學生個體間的差異的信息，而在實際中，這一部分的變異有可能佔總變異中很大的一部分。

上述兩種方法有可能得到不同的結果，在對結果的解釋上也很不一致。基於上述的討論，這兩種分析數據的方法有一個共同點：它們都沒有考慮數據間分層的特點，有可能對數據結果作出不合理的甚至是錯誤的解釋。這就是傳統迴歸分析方法在分析具有結構層次特點數據時的侷限性。

傳統的線性迴歸模型假設變量間存在直線關係，變量總體上服從正態分佈，方差齊性，個體間隨機誤差相互獨立。前兩個假設較易保證，但方差齊性，尤其是個體間隨機誤差相互獨立的假設卻很難滿足。即不同班級的學生可以假設相互獨立，但是同一班級的學生由於受相同班級變量的影響，很難保證相互獨立。

因此在分析具有層次結構特點的數據時，應將傳統迴歸分析中的誤差分解為兩部分，一部分是第一水平個體間差異帶來的誤差，另一部分是第二水平班級的差異帶來的誤差。可以假設第一水平個體間的測量誤差相互獨立，第二水平班級帶來的誤差在不同班級之間相互獨立。

多水平分析法同時考慮到不同水平的變異，這也正是多層線性分析法的應用越來越受重視的原因，它不僅在模型的假設上與實際情況更加吻合，更重要的是由這種方法得到的結果能更合理、正確地揭示事物之間的真正關係。