多元方差分析

在統計學中，多元方差分析（MANOVA）是一種比較多變量樣本均值的程序 ^[1]  。作為一個多變量過程，它在有兩個或多個因變量時使用，並且通常後面是分別涉及各個因變量的顯着性檢驗。它有助於回答：

1）自變量的變化是否對因變量有顯着影響？

2）因變量之間的關係是什麼？

3）自變量之間有什麼關係？

MANOVA是單變量方差分析（ANOVA）的推廣形式，儘管與單變量ANOVA不同，它使用結果變量之間的協方差來檢驗平均差異的統計顯着性。其中，在單變量方差分析中出現平方和的情況下，在多變量方差分析中出現某些正定矩陣。對角線條目是出現在單變量ANOVA中的相同種類的平方和，非對角線條目則是相應的乘積和。在關於誤差分佈的正態假設下，由於誤差導致的平方和對應部分服從Wishart分佈。

MANOVA是基於模型方差矩陣，

和誤差方差矩陣逆

的乘積，即

。假設

，則

。不變性考慮意味着MANOVA統計量應該是矩陣乘積奇異值分解的度量，但由於備選假設的多維性質，沒有唯一的選擇。

最常見的統計數據是基於

矩陣的根（或特徵值）

的彙總：

多元方差分析效果受因變量的相關性和以及變量相關的效應大小的影響 ^[2]  。例如，當存在兩個組和兩個因變量時，當相關性等於較小標準化效應大小與較大標準化效應大小的比率時，多元方差分析效果最低。