基爾霍夫定律

基爾霍夫定律是求解複雜電路的電學基本定律。從19世紀40年代，由於電氣技術發展的十分迅速，電路變得愈來愈複雜。某些電路呈現出網絡形狀，並且網絡中還存在一些由3條或3條以上支路形成的交點(節點)。這種複雜電路不是串、並聯電路的公式所能解決的。

剛從德國哥尼斯堡大學畢業，年僅21歲的基爾霍夫在他的第1篇論文中提出了適用於這種網絡狀電路計算的兩個定律，即著名的基爾霍夫定律。該定律能夠迅速地求解任何複雜電路，從而成功地解決了這個阻礙電氣技術發展的難題。 ^[1] 

由於似穩電流(低頻交流電)具有的電磁波長遠大於電路的尺度，所以它在電路中每一瞬間的電流與電壓均能在足夠好的程度上滿足基爾霍夫定律。因此，基爾霍夫定律的應用範圍亦可擴展到交流電路之中。 ^[1] 

（1）每個元件就是一條支路。

（2）串聯的元件我們視它為一條支路。

（3）在一條支路中電流處處相等。 ^[2] 

（1）支路與支路的連接點。

（2）兩條以上的支路的連接點。

（3）廣義節點（任意閉合面）。

（1）閉合的支路。

（2）閉合節點的集合。

（1）其內部不包含任何支路的迴路。

（2）網孔一定是迴路，但迴路不一定是網孔。

基爾霍夫第一定律又稱基爾霍夫電流定律，簡記為KCL，是電流的連續性在集總參數電路上的體現，其物理背景是電荷守恆公理。基爾霍夫電流定律是確定電路中任意節點處各支路電流之間關係的定律，因此又稱為節點電流定律。基爾霍夫電流定律表明：

或者描述為：

以方程表達，對於電路的任意節點滿足：

其中，

是第k個進入或離開這節點的電流，是流過與這節點相連接的第k個支路的電流，可以是實數或複數。 ^[3] 

在列寫節點電流方程時，各電流變量前的正、負號取決於各電流的參考方向對該節點的關係（是“流入”還是“流出”）；而各電流值的正、負則反映了該電流的實際方向與參考方向的關係（是相同還是相反）。

通常規定，對參考方向指向（流入）節點的電流取正號，而對參考方向背離（流出）節點的電流取負號。

KCL定律不僅適用於電路中的節點，還可以推廣應用於電路中的任一不包含電源的假設的封閉面。即在任一瞬間，通過電路中任一不包含電源的假設封閉面的電流代數和為零。

圖1 KCL的推廣所示為某電路中的一部分，選擇封閉面虛線所示，在所選定的參考方向下有：

由於累積的電荷（單位為庫侖）是電流（單位為安培）與時間（單位為秒）的乘積，從電荷守恆定律可以推導出這條定律。其實質是穩恆電流的連續性方程，即根據電荷守恆定律，流向節點的電流之和等於流出節點的電流之和。

思考電路的某節點，跟這節點相連接有個支路。假設進入這節點的電流為正值，離開這節點的電流為負值，則經過這節點的總電流等於流過支路的電流的代數和：

將這方程積分於時間，可以得到累積於這節點的電荷的方程：

其中，

是累積於這節點的總電荷，

是流過支路 k 的電荷，t 是檢驗時間， t'是積分時間變量。

假設，q>0則正電荷會累積於節點；否則負電荷會累積於節點。根據電荷守恆定律， q 是個常數，不能夠隨着時間演進而改變。由於這節點是個導體，不能儲存任何電荷。所以，q=0 、i=0 ，基爾霍夫電流定律成立：

基爾霍夫第二定律又稱基爾霍夫電壓定律，簡記為KVL，是電場為位場時電位的單值性在集總參數電路上的體現，其物理背景是能量守恆。基爾霍夫電壓定律是確定電路中任意迴路內各電壓之間關係的定律，因此又稱為迴路電壓定律。

基爾霍夫電壓定律表明：

或者描述為：

以方程表達，對於電路的任意閉合迴路，

其中，m 是這閉合迴路的元件數目， v_k是元件兩端的電壓，可以是實數或複數。

基爾霍夫電壓定律不僅應用於閉合迴路，也可以把它推廣應用於迴路的部分電路。 ^[3] 

KVL定律是描述電路中組成任一回路上各支路（或各元件）電壓之間的約束關係，沿選定的迴路方向繞行所經過的電路電位的升高之和等於電路電位的下降之和。

應用該方程時，應先在迴路中選定一個繞行方向作為參考，則電動勢與電流的正負號就可規定如下： 電動勢的方向 (由負極指向正極)與繞行方向一致時取正號，反之取負號; 同樣，電流的方向與繞行方向一致時取正號，反之取負號。例如，用此規定可將回路(如圖2)的基爾霍夫電壓方程寫成：

-E₁+E₂=-I₁R₁+I₂R₂+I₃R₃-I₄R₄

每個閉合迴路均可列出一個方程。如果某迴路至少有一個支路未被其他方程用過，則稱此迴路為獨立迴路。對於存在M個獨立迴路的電路，可以列出M個獨立的迴路電壓方程，它們組成的方程組稱為基爾霍夫第二方程組。 ^[1] 

基爾霍夫定律建立在電荷守恆定律、歐姆定律及電壓環路定理的基礎之上，在穩恆電流條件下嚴格成立。當基爾霍夫第一、第二方程組聯合使用時，可正確迅速地計算出電路中各支路的電流值。由於似穩電流(低頻交流電) 具有的電磁波長遠大於電路的尺度，所以它在電路中每一瞬間的電流與電壓均能在足夠好的程度上滿足基爾霍夫定律。因此，基爾霍夫定律的應用範圍亦可擴展到交流電路之中。 ^[1] 

它除了可以用於直流電路的分析，和用於似穩電路的分析，還可以用於含有電子元件的非線性電路的分析。運用基爾霍夫定律進行電路分析時，僅與電路的連接方式有關，而與構成該電路的元器件具有什麼樣的性質無關。

但用於交流電路的分析是，即對通過含時電流的電路進行分析時，由於通過閉合迴路的磁通量是時間的函數，根據法拉第電磁感應定律，會有電動勢E出現於閉合迴路。所以，電場沿着閉合迴路的線積分不等於零。此時迴路方程應寫作：

Σv_k = E = - ΔΦ/Δt (磁場正方向與迴路正方向相同時)

這是因為電流會將能量傳遞給磁場；反之亦然，磁場亦會將能量傳遞給電流。

對於含有電感器的電路，必需將基爾霍夫電壓定律加以修正。由於含時電流的作用，電路的每一個電感器都會產生對應的電動勢E_k。必需將這電動勢納入基爾霍夫電壓定律，才能求得正確答案。