地基上樑和板

為了計算地基上連續結構（地坪、路面、跑道、船塢、隧道、涵管襯砌等）、連續基礎（條形基礎、片筏基礎、箱形基礎）及樁等的變形和內力，通常把上述結構視為置於地基上滿足一定邊界條件的梁和板，並稱為地基上樑和板（圖1）。若將地基視為彈性體，即為彈性地基上樑和板。彈性地基上樑和板的計算方法已在工程結構計算中廣泛應用。這些方法是根據結構、地基與基礎的相互作用原理，對地基基礎設計計算所做的一種簡化計算方法。主要是求解在荷載作用下，地基與基礎的接觸反力（簡稱地基反力）的大小和分佈，然後據以計算梁中彎矩、剪力和豎向位移。求解地基反力的基本途徑是以地基反力為未知數，建立梁或板撓曲變形方程和靜力平衡方程。

梁撓曲變形方程：

(1)

式中ωx為梁中性軸沿x軸方向的撓曲變形；qa2x為樑上沿x軸方向單位長度上的豎向荷載分佈；px為沿x軸方向單位長度上分佈的地基反力；EI為梁的抗彎剛度（其中E為梁的彈性模量，I為截面慣性矩）。板撓曲變形方程：

(2)

式中ω(x，y)為板中性面在x、y座標系中撓曲變形;D為板的抗彎剛度,D=Eh3/12(1-μ2)；h為板厚度;μ為泊松比；q(x，y)、p(x,y)分別為x、y座標系中單位面積上的豎向荷載與地基反力分佈；。

地基豎向位移方程的建立，取決於地基土層中的應力-應變關係。 這種關係應根據岩土地基的力學性質確定。目前，主要採用兩種彈性地基模型：一種是温克勒地基模型；另一種是半空間彈性體地基模型；此外尚有介於兩種模型之間的雙參數彈性地基模型以及有限壓縮層地基模型等。鑑於彈性地基模型不盡符合實際，後來又出現了彈塑性地基模型、粘彈塑性地基模型及應用於數值計算的非線性地基模型。

在進行地基上樑和板的計算時，可根據上述地基計算模型建立相應的地基反力假定式，代入(1)或(2)式即可直接或間接得出p(x)或p(x,y)。 但計算繁瑣。因此，在工程中採用了近似的方法求解，例如；微分方程直接解法、級數法、鏈杆法、能量法、有限差分法及有限元法等。

地基上樑的計算方法　温克勒地基上樑的計算 　假設地基單位面積上所受的壓力p與地基的豎向位移g成正比，

p=ky(3)

式中k為基牀係數（地基反力模量）。

這種假設，相當於把地基模擬為剛性底座上一系列獨立的彈簧體系。在荷載作用下，應力在這種地基中不擴散，因此地基被視為非連續體（圖2a）,這樣便簡化了梁或板撓曲變形的計算。但是,此假設與實際地基性狀有較大的出入。而且,基牀係數ky並非常數,在同樣的壓力下,又與受壓面積大小和形狀、壓盤剛度等有關，故難以通過試驗求得。

由式(1)、(3)可導出地基上樑的位移方程：

(4)

式中，b為梁寬。

λl（l為梁的長度）稱為柔度指數,是表徵温克勒地基與梁相對剛柔程度的無量綱數。具有不同λl的梁，其性狀有明顯不同。為了便於計算，一般按λl的大小將梁分類。分類標準隨各專業的要求有所不同，通常規定：λl＜π/4為短梁；π/4＜λlπ為無限長梁。對不同類型的梁選擇不同的邊界條件求解微分方程。可供選擇的方法有:初始參數法、迭代法、應變能法等。若將上述微分方程化為有限差分方程，則成為線性方程數值解法，計算較為簡便。現在，藉助於計算機已使有限元法廣泛應用於這一領域。有限差分法或有限元法還適用於變截面梁和基牀係數為變量的情況。

彈性半空間地基上樑的計算 　假設地基為均質、各向同性、半無限的連續彈性體（圖2b），在一定壓力範圍內，地基應力與應變關係近似地服從於廣義胡克定律，因而，可用彈性理論公式求解地基表面壓力與豎向位移的關係式。地基變形參數以變形模量E0及泊松比μ0表徵。該模型可用於各種地基土層。

關於彈性半空間地基上樑的近似解法，由於彈性連續體上樑需要考慮二維或三維變形性狀，基本方程是積分微分方程形式，直接求解很困難，因而也採用近似的數值分析方法。

地基上板的計算方法　與梁基本相同，只是方程式(2)較(1)更復雜，多采用有限差分法與有限元法解決。

在上述地基上樑和板的計算中，有的忽略了上部結構剛度的影響，有的把基礎當作絕對剛性的。這種忽視上部結構的存在和把基礎看成地基上孤立的梁和板的作法是不符合結構-基礎-土相互作用的概念的。所以，計算結果誤差較大。若計入相互作用，即將結構隨施工過程逐步形成的剛度的影響考慮進去，則其分析方法與地基上樑或板計算的就大不相同。所以，對於複雜的、高的或重型的結構，必須應用上部結構-基礎-地基相互作用的原理進行分析與計算，才能得到較為符合實際情況的地基反力、結構與基礎內力和變形。

上部結構、基礎與地基的相互作用，是三者在荷載（包括上部結構與基礎自重）作用下，作用力與變形之間的相互協調、制約的過程。地基由於荷載或土質軟硬不均會產生不均勻沉降，但因上部結構和基礎具有一定的剛度,在伴隨地基產生相應的變形過程中,將對地基沉降起制約作用。三者之間各部位的作用力互相調整，最後協調一致達到作用力間的平衡及變形穩定。在基礎設計中，正確考慮這種相互作用，將提高設計的合理性和準確性，使更符合實際情況。

在上部結構、地基與基礎的相互作用研究中，已有相當數量的現場實測資料和計算分析研究。在結構剛度形成的滯後效應及剛度發揮的有限性，結構內力重分佈規律，有效工作剛度及其在不同施工和使用階段的作用性質,地基回彈再壓縮計算模型等方面均取得進展,有的已應用於工程設計中。相互作用是一個複雜的問題，影響因素較多，有關這方面的研究，目前仍在不斷髮展。

參考書目

A.P.S.塞爾瓦杜雷著，範文田等譯：《土與基礎相互作用的彈性分析》，中國鐵道出版社，北京，1984。(A.P. S.Selvadurai，Elastic　Analysis　of　Soil-Foundation Interaction, Elsevier　Scientific Pub.Co.，Amsterdam-Oxford-New York，1979.)