圓面積公式

圓的半徑：r

直徑：d

圓周率：π（數值為3.1415926至3.1415927之間的無限不循環小數），通常採用3.14作為π的數值

圓面積：

;

，S=πd²/4

圓面積=圓周率×半徑×半徑

半圓的面積：S_半圓=(πr²)÷2

半圓的面積=圓周率×半徑×半徑÷2

圓環面積： S_大圓－S_小圓=π(R²-r²)（R為大圓半徑，r為小圓半徑）

圓環面積=外大圓面積－內小圓面積

圓的周長：

或

圓的周長=直徑×圓周率

半圓的周長：

或者

半圓周長=圓周率×半徑+直徑

約翰尼斯·開普勒是德國天文學家，他發現了行星運動的三大定律，這三大定律可分別描述為：所有行星分別是在大小不同的橢圓軌道上運行；在同樣的時間裏行星向徑在軌道平面上所掃過的面積相等；行星公轉週期的平方與它同太陽距離的立方成正比。這三大定律最終使他贏得了“天空立法者”的美名。為哥白尼的日心説提供了最可靠的證據，同時他對光學、數學也做出了重要的貢獻，他是現代實驗光學的奠基人。

開普勒當過數學老師，他對求面積的問題非常感興趣，曾進行過深入的研究。他想，古代數學家用分割的方法去求圓面積，所得到的結果都是近似值。為了提高近似程度，他們不斷地增加分割的次數。但是，不管分割多少次，幾千幾萬次，只要是有限次，所求出來的總是圓面積的近似值。要想求出圓面積的精確值，必須分割無窮多次，把圓分成無窮多等分才行。

開普勒也仿照切西瓜的方法，把圓分割成許多小扇形；不同的是，他一開始就把圓分成無窮多個小扇形。 圓面積等於無窮多個小扇形面積的和，所以 　在最後一個式子中，各段小弧相加就是圓的周長2πr，這就是我們所熟悉的圓周長公式。

開普勒運用無窮分割法，求出了許多圖形的面積。1615年，他將自己創造的這種求圓面積的新方法，發表在《葡萄酒桶的立體幾何》一書中。

開普勒大膽地把圓分割成無窮多個小扇形，並果敢地斷言：無窮小的扇形面積，和它對應的無窮小的三角形面積相等。他在前人求圓面積的基礎上，向前邁出了重要的一步。

《葡萄酒桶的立體幾何》一書，很快在歐洲流傳開了。數學家們高度評價開普勒的工作，稱讚這本書是人們創造求圓面積和體積新方法的靈感源泉。

在半徑為R的圓中，因為360°的圓心角所對的扇形的面積就是圓面積S=πR²;；，所以圓心角為n°的扇形面積：

S=（nπR²）÷360°

扇形還有另一個面積公式

S=1/2lR （其中l為弧長，R為半徑 ）

本來S=（nπR2）÷360°

按弧度制。2π=360度。因為n的單位為度.所以l為角度為n時所對應的弧長.即.l=θR=（n/180）π×R

∴s=(n/180)π*R*π*R/2π=1/2lR.

把圓平均分成若干份，可以拼成一個近似的長方形。長方形的寬就等於圓的半徑（r），長方形的長就是圓周長（C）的一半。長方形的面積是a×b，那圓的面積就是：圓的半徑（r）乘以二分之一週長C，S=r×（C/2）=r×（2r×π/2）=r²×π

圓周長（C）：圓的直徑（d），那圓的周長（C）除以圓的直徑（d）等於π，那利用乘法的意義，就等於 π乘以圓的直徑（d）等於圓的周長（C），C=πd。而同圓的直徑（d）是圓的半徑（r）的兩倍，所以就圓的周長（C）等於2乘以π乘以圓的半徑（r），C=2πr。