圓的一般方程

圓是最常見的、最簡單的一種二次曲線。

在平面上到一定點(中心)有同一距離(半徑)之點的軌跡叫做圓周，簡稱圓。

圓半徑的長度定出圓周的大小，圓心的位置確定圓在平面上的位置。如果已知：(1)圓半徑長R；(2)中心A的座標(a,b)，則圓的大小及其在平面上關於座標軸的位置就已確定。根據圖形的幾何尺寸與座標的聯繫可以得出圓的標準方程。結論如下：

當圓的中心A與原點重合時，即原點為中心時，即a=b=0，圓的方程為：

圓的標準方程是一個關於x和y的二次方程，將它展開並按x、y的降冪排列，得：

設D=-2a，E=-2b，F=a²+b²-R²；則方程變成：

任意一個圓的方程都可寫成上述形式。把它和下述的一般形式的二元二次方程比較，可以看出它有這樣的特點：(1)x²項和y²項的係數相等且不為0(在這裏為1)；(2)沒有xy的乘積項。 ^[1] 

由圓的標準方程

的左邊展開，整理得

，在這個方程中，如果令

，則這個方程可以表示成

。

可以證明，形如

一般表示一個圓。

為此，將一般方程配方，得：

為此與標準方程比較，可斷定：

(1)當D²+E²-4F>0時，一般方程表示一個以

為圓心，

為半徑的圓。

(2)當D²+E²-4F=0時，一般方程僅表示一個點

，叫做點圓(半徑為零的圓)。

(3)當D²+E²-4F<0時，沒有一個點的座標滿足圓的一般方程，即一般方程不表示任何圖形，叫做虛圓。

圓的標準方程的優點在於它明確地指出了圓心和半徑，而一般方程突出了方程式上的特點，便於區分曲線的形狀。 ^[1] 

求方程

的軌跡。

解：這個方程的x²和y²項的係數都是1，並且沒有xy項，它與圓的方程有相同的形式．我們把它配方，得：

即：

由此可知，原方程的軌跡是一個以點(1，-2)為圓心，4為半徑的圓。 ^[2]