因果性

因果性(causality)，是一種只有在輸入信號激勵下才能產生輸出響應的性質。

一個系統如果符合因果性，那麼該系統輸出信號不會超前於輸入信號而產生。即如輸入信號在n

對於線性非移變系統，它的因果性可以定義為該系統滿足n<0時單位抽樣響應恆等於零的條件。單位抽樣響應是指系統在輸入單位抽樣序列時的響應。

幾乎所有實際運行中的物理系統，都具有僅在輸入信號作用下才有輸出信號的性質，所以都滿足因果性，都是因果系統。因果性在系統分析中具有重要的意義。

因果系統，即輸入的響應不可能在此輸入到達的時刻之前出現的系統；也就是説系統的輸出僅與當前與過去的輸入有關，而與將來的輸入無關的系統。

系統的這種特性稱為因果特性。符合因果性的系統稱為因果系統或非超前系統 (nonanticipative system) 。與之相對的有非因果系統和反因果系統。

非因果系統(noncausal system)是輸出不僅與當前的輸入，而且與將來的輸入有關的系統。

反因果系統(anticausal system)是輸出僅與將來的輸入有關的系統。

對於連續時間系統：

t=t1的輸出y(t1)只取決於t≤t1的輸入x(t≤t1)時，則此係統為因果系統，

特殊的：當該系統為線性移不變系統時，系統的衝激響應函數h(t)，在t<0的條件下，h(t)=0，則此係統為因果系統；如果系統的單位衝激響應在t>0時，h(t)=0，就説該系統是反因果的。

對於離散時間系統：

n=n1的輸出y(n1)只取決於n≤n1的輸入x(n≤n1)時，則此係統為因果系統，

特殊的：當該系統為線性時不變系統時，系統的衝激響應函數h(n)，在n<0的條件下，h(n)=0，則此係統具有因果性，為因果系統。

因果系統固然重要，但並不是所有有實際意義的系統都是因果系統。

1. 在圖像處理中，變量不是時間，此時，因果往往不是根本性的限制。

2. 非實時情況，待處理的數據實現記錄下來，例如為了去除噪聲的變化，保留總體的緩慢變化趨勢，常作取平均：

LSI系統是因果系統的充分必要條件，即系統表達式要滿足：

對一個線性系統，它的因果性就等效於初始鬆弛條件。

將n<0，x(n)=0的序列叫因果序列，表示這個因果序列可以作為一個因果

系統的單位抽樣響應。

對於給定的常係數 N 階差分方程：

若根據初始條件， 假定經過判定描述的是一個 LTI 系統， 則必有如下結論:

如果初始條件為 y(n) =0， n <0 或 y( －1)、 y( －2)、 …、y( － N)皆為零， 即系統無初始儲能， 處於零狀態， 則系統必為因果的。反之， 如果 y( － 1)、 y( － 2)、 …、 y( － N)不全為零， 則系統必為非因果的。

證明如下:

若系統為 LTI 系統， 則因果性判定如下:

因為 h(n) = y(n)

x(n) = δ(n) ，

若初始條件 y(n) =0， n <0 ．

則 h(n) = y(n)

x(n) = δ(n) =0， n <0 ．

由此可知系統為因果系統， 反之，y(n) =0， n <0 不

成立， 如 y( －2) =1， 則

h( －2) = y( －2)

x(n) = δ(n) =1， n <0 ．

此時可知， 系統為非因果系統， 證畢。

上述結論換句話説就是:對於差分方程描述的 LTI 系統， 如果初始條件為 0 則為因果系統， 反之為非因果系統