因子得分

因子得分(factor score)是一種估計值，是在因子分析中，對不可觀測的公因子做出的估計值。因子分析是將變量分解為公因子和特殊因子的線性組合。由於m個公因子能反映原p個變量的相關關係(m＜p)，故反過來考察，將公因子表成變量的線性組合F_j=b_j1x₁+b_j2x₂+…+b_jpx_p(j=1，2，…，m)，如能估出b_ji，就可以估計F_j的值，稱之為公因子F_j的得分。這樣，就把p維空間的問題化為m (m＜p)維空間的問題，在低維空間R_m中，進一步考察樣本分類或把樣本的公因子得分作為進一步分析的原始數據 ^[1]  。

因子分析模型建立後，還有一個重要的作用是應用因子分析模型去評價每個樣本存整個模型中的地位，即進行綜合評價。例如，地區經濟發展的因子分析模型建立後，我們希望知道每個地區經濟發展的情況，把區域經濟劃分歸類，以清晰地看出哪些地區發展較快，哪些地區發展不快不慢，哪些地區發展較慢等。這時需要將公共因子用變量的線性組合來表示，也即由地區經濟的各項指標值來估計它的因子得分。

設公共因子F由變量x表示的線性組合為：

該式稱為因子得分函數，由它來計算每個樣品的公共因子得分。若取m=2，則將每個樣品的p個變量代入上式即可算出每個樣品的因子得分

和

，並將其在平面上作九子得分散點圖，進而對樣品進行分類或對原始數據進行更深入的研究，

但因子得分函數中方程的個數m小於變量的個數p，所以並不能精確計算出因子得分，只能對因子得分進行估計。估計因子得分的方法較多，常用的有迴歸(regression)估計法和Bartlett估計法（也稱加權最小二乘法） ^[2]  。

設因子對p個變量的迴歸模型為

因為變量和因子均已標準化，所以

，上式可寫成矩陣形式

，根據最小二乘估計，有

，又由於因子載荷矩陣

，於是：

這裏R為相關陣，且

。

Bartlett估計因子得分可由最小二乘法或極大似然法導出，下面給出最小二乘法求解Bartlett因子得分。

在因子分析模型

中，若將載荷矩陣A看作自變量的數據矩陣，將X看作因變量的數據向量，將F看作未知的迴歸係數，將

看作隨機誤差，那麼因子分析模型就是一個迴歸模型。由於

的方差各不相同，需將異方差的

化為同方差，將下述模型進行變換：

變成同方差迴歸模型。這裏

，利用最小二乘法，可求得因子得分的估計值 ^[2]  ：