嚴格偏序關係

嚴格偏序關係是一種重要的偏序關係，指集合A上的反自反的、傳遞的和非對稱的二元關係R，A稱為嚴格偏序集.嚴格偏序關係常記以特殊的記號<，a<b意即aRb ^[1]  。

【例1】 自然數集N、整數Z、有理數集Q和實數集R上的小於關係，集合之間的真包含關係等等，都是嚴格偏序關係。

嚴格偏序關係和偏序關係之間有密切的聯繫，如果<是一個嚴格偏序關係，那麼相應的偏序關係就可以定義為：x≤y當且僅當x<y或者x=y。反之，如果≤是一個偏序關係，與此相應的嚴格偏序關係就可以定義為：x<y當且僅當x≤y並且x≠y。

另外，集合X上的嚴格偏序關係<必是反對稱的。事實上，如果<不是反對稱的，則存在x∈X和y∈X使得x<y並且y<x，因為<是一個嚴格偏序，所以<必具有傳遞性，由x<y並且y<x可得x<x，這與<是反自反的相矛盾 ^[2]  。

嚴格偏序關係<(⊆A×A)有下列特點：

1.E_A∩<=∅，(<°<)⊆<，且〈a，b〉∈<時，〈b，a〉∉<。

2.<的矩陣M_R=(r_ij)_λ的主對角線上全是零，對任何i，j，r_ij·r_ji=0，且r_ij=r_jk=1時，r_ik=1。

3.<的箭頭圖上每一個點都沒有從自己出髮指向自身的箭頭，不同兩點間沒有雙向箭頭，且若有從a向b、從b向c的箭頭就有從a向c的箭頭 ^[1]  。