單位矢量

如果質點沿着平面曲線C 運動，可以把加速度矢量a 分解為沿着軌道切線方向以及法線方向的兩個分量。設曲線C 上某一點為弧長座標s 的原點O，沿軌道切線一方向運動時，軌道弧長s 增加，沿軌道切線另一方向運動時，軌道弧長s 減小。i 為沿軌道切線方向並指向軌道弧長s 增加的方向上的單位矢量， j 為沿軌道法向並指向曲線凹側的單位矢量，θ 為軌道前進的切線方向和x 軸之間的夾角，如圖一所示。i 、j 和dθ之間滿足下列關係式

質點速度為

，式中ds 是當

改變

時，質點沿曲線C所移動的路程。在極限情況下，

,故

,且弧長增加（即質點沿單位矢量i方向運動）時，ds > 0；

弧長減小時，ds < 0。於是

因為

,

,，而此處則

等於曲線C 的曲率半徑

，又因

恆大於0，

故

質點沿曲線C 運動的切向和法向加速度分量分別為：

此式又稱為內稟方程。

在採用自然座標系描述質點的平面曲線運動時，把加速度矢量a 分解為沿着軌道的切線以及法線方向兩個分量。其中，法線加速度的方向一定指向曲線在該點的凹側法線方向，這是由於質點法線方向受力的作用只改變質點速度的方向，而不改變質點速度的大小。在曲線的拐點處，法線加速度的大小為零。因此，法線方向的單位矢量

可以規定為沿軌道法向並指向曲線凹側。對於沿軌道切線方向的單位矢量i ，我們將證明其方向可以任意規定。單位矢量i 正向的選取不會影響加速度矢量

在自然座標系中的表達形式，即沿軌道切線方向不論怎麼選取單位矢量的正向，加速度矢量

在自然座標系中的表達形式都如公式（2）所示。我們考慮質點沿着正弦曲線運動的情況，

如圖二和圖三所示。正弦曲線中既有凸的部分，也有凹的部分，同時還存在拐點。弧長座標s 、單位矢量i 和j 的定義同上，θ 仍為軌道單位矢量i 的正向和x 軸之間的夾角。圖二 和圖三分別是沿軌道切線單位矢量i 正向選取的兩種情況。

綜上所述，單位矢量i 正向的選取不會影響加速度矢量a 在自然座標系中的表達形式。事實上， dθ 、ds 的正負以及i 、j 和dθ 之間的關係式取決於曲線的凹凸性和單位矢量i 正向的選取。在自然座標系中，對於常用到的一些關係式，比如曲線在某點的曲率半徑會根據dθ 、ds 的正負與ds / dθ 有相應的符號差別。此外，需要説明的是在靠近拐點時，ρ 趨於無窮大，法向加速度大小為零；又考慮到質點法線方向受力的作用只改變質點速度的方向，而不改變質點速度的大小，故在拐點兩側，法向單位矢量j 正向的突變對於求解質點曲線運動問題實質上沒有影響。 ^[1] 

理論力學中對沿曲線運動的質點, 常把其加速度矢量a 分解為沿軌道的切線方向和法線方向的兩個分量:

.如果把軌道的切線和法線也作為座標系來看,則叫自然座標系。

切向座標軸正向

的選取：沿軌道曲線的切線，並指向弧座標的正方向。

法向座標軸正向

的選取:沿軌道曲線的主法線方向，即指向曲線的凹側。 ^[2] 

注意：

( 1) 對於任意給定的光滑平面軌道曲線( 設曲線無拐點, 否則可分段考慮),

在各點是唯一確定的,

沿曲線是逐點連續變化的。

(2) 自然系正法向單位矢禪的方向與曲線的正法向( 指向曲率中心), 沿曲線各點處處相同。

( 3) 不僅保持

兩式恆成立, 而且又有

恆成立,

於是就有

恆成立。 ^[3]