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命題公式
鎖定
命題公式(propositional formula)亦稱合式公式，是數理邏輯術語，它是按照一定規律形成的符號序列，在命題演算中，公式通常用歸納定義給出，例如，在一個具有五個聯結詞ᒣ，∨，∧，→，≡的系統中，合式公式定義如下：1.命題變元和命題常元是公式；2.如果α是公式，則ᒣα也是公式；3.如果α，β是公式，則α∨β，α∧β，α→β，α≡β均為公式；4.只有由1～3條給出的才是公式。因此，根據上述定義，ᒣp，(p→q)∨ᒣp等是公式，而pᒣ，pq→等都不是公式
[1]
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- 中文名
- 命題公式
- 外文名
- propositional formula
- 別 名
- 命題合式公式
- 所屬學科
- 數學（邏輯學）
- 簡 介
- 按照一定規律形成的符號序列
命題公式基本介紹
命題公式是對由命題變項、聯結間和圓括號按照一定邏輯關係構成的複合命題的形式化描述。。
定義 命題合式公式，又稱為命題公式(簡稱公式)，可按下列規則生成:
(1)命題變項是命題公式。
(2)如果A是命題公式，則¬A是命題公式。
(3)如果A和B是命題公式，那麼(A∧B)、(A∨B)、(A→B)和(A↔B)都是命題公式。
(4)當且僅當有限次地應用(1)，(2)，(3)所得到的包含命題變項，聯結詞和圓括號的符號串是命題公式。
命題公式的定義是一個遞歸定義形式。命題公式本身不是命題，沒有真值，只有對其命題變項進行賦值後，它才有真值。
命題公式例題解析
【例1】判定下列式子是否是命題公式。
(1) ((P∧¬Q)→R)
(2) ((P↔¬Q)∧((Q→R)↔(R∨Q)))
(3) ((R∨Q)→P)
(4) ((R，¬Q)→P)
(5) (R∧→Q)
(6) ((P∨Q)→(R↔¬Q))
解根據命題公式的定義可知1，(1)、(2)、(3)、(6)是命題公式，而(4)、(5)不是命題公式。命題公式最外層括號可以省略。
有了命題公式的定義後,很多複合命題可以符號化為命題公式。
【例2】 “如果提高天然氣佔能源的比例，且燒乾淨的煤，那麼空氣質量就能提升許多。”用命題公式符號化該命題。
該命題可符號化為(P∧Q)→R。
命題公式相關概念及定理
對於不同的賦值，命題公式有不同的真值情況。將命題公式在所行的賦值下的真值情況用表格表達出來，這張表就稱為真值表。如果一個命題公式有n個命題變項。每個命題變項有兩種真值情況，則共有2n種不同的賦值情況。為了不遺漏每種賦值情況。1個命題變項的取值一般從00...0到1...1或者從1...1到00...0。
定義2 設A、B是命題公式，
是出現在A和B中的所有命題變項，如果對於
的任何一組賦值，A的真值和B的真值都相同，則稱公式A等值於公式B(或A與B等值)，記作A
B。
因此，要判斷兩個公式是否等值，根據定義，只需將兩個公式的真值表列出，判斷兩個真值表是否相同即可。
對一個命題公式A，如果用公式B取代A中的一部分，會得到一個新公式C。但是一般來説，公式A和C是不等值的。例如，在公式P∧Q中用P∨¬P取代Q，得到的P∧(P∨¬P)不等值於原來的公式。但如果對取代過程加以某種限制，則得到的新公式會和原來的公式等值。
命題公式中有許多公式是等值的，要記住大量的等值公式是困難的，但一些基本的、重要的等值式模式是應該掌握的。下面列出一些最基本的等值式模式。
比如雙重否定律：¬¬A
A，冪等律：A∨A
A，A∧A
A，還有交換律，結合律，分配律，德.摩根律，吸收律，同一律等。
定義3 設A是一個命題公式，A'是A的一部分,且A'也是一個命題公式，則稱A'是A的子公式。
命題公式命題公式的分類
命題公式重言式
給定一個命題公式，若對於其中的命題變項的任何一組賦值，命題公式對應的真值永遠為1，則稱該命題公式為重言式或永真式。
命題公式矛盾式
給定一個命題公式，若對於其中的命題變項的任何一組賦值，命題公式對應的真值永遠為0，則稱該命題公式為矛盾式或永假式。
命題公式可滿足式
給定一個命題公式，若至少存在一組賦值使得該公式的真值為1，則稱該命題公式為可滿足式。
