同一原理

如果命題的條件和結論所含的事項都是唯一的(指事件本身唯一，而不是指事件的個數唯一)，或它們的範圍一樣，那麼這個命題的逆命題必然成立。這個法則叫做同一原理或同一法則。

例如：“中華人民共和國的首都是北京”。這個命題中，“中華人民共和國”是唯一的，“首都北京”也是唯一的，因此，它的逆命題“北京是中華人民共和國的首都”也是成立的。

然而，在命題“上海是工業城市”中，條件中的“上海”是唯一的，但結論中的“工業城市”卻不是唯一的，也就是“上海”和“工業城市”的範圍不一樣，因此，它的逆命題“工業城市是上海”就不成立 ^[2]  。

一個命題，如果它的題設和結論所指的事物都是唯一的，那麼原命題和它的逆命題中，只要有一個成立，另一個就一定成立，這個道理叫做同一原理或同一法則。在符合同一法則的前提下，代替證明原命題而改證它的逆命題成立的一種方法叫做同一法。在用同一法證題時，圖形常常故意畫成不正確的.要證“某形有某特性”，在某形和某特性都是獨一無二的情況下，轉而去證“有某特性的是某形”.同一法證題的步驟是：另作符合結論的圖形，證明該圖形與已知條件符合，由同一法則得所作圖形與題設的圖形重合，從而原命題得證。

同一法和反證法都是間接證法，但同一法不易掌握.可以利用同一法證明的題目，一般來説用反證法也行。

應用同一法的步驟：

(1) 判斷命題符合同一法則；

(2) 作出符合結論的圖形；

(3) 證明所作圖形與已知條件相合，從而可以推出所作圖形與已知圖形相合。

【例1】證明三角形兩邊中點連線平行於三角形的第三邊。

已知：△ABC中，D是AB中點，E是AC中點(如圖1)。

求證：DE∥BC。

證明：過D作BC的平行線交AC於E。

∵ AD=DB，∴ AE′ =E′C，即E′是AC的中點，但E是AC的中點，而一條線段的中點只有一個，因此，E′與E重合。

∴ DE′與DE重合。

由於DE′∥BC，∴ DE∥BC。

證明勾股定理的逆定理便可用同一法。

【例2】已知：如圖2（a），△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，且c²=a²+b²，求證：∠C=90°。

證明：作△A′ B′ C′，使∠C′=90°，C'A'=b，B′C′=a，由勾股定理，得A′B′2=a²+b²=c²，∴A′B′=c，因此△A′B′C′≌△ABC，∴∠C=∠C′=90°

這裏，條件AB=c，BC=a，CA=b，且c²=a²+b²是唯一的，都是確定的數，結論∠C=90°也是唯一確定的，而△A′B′C′可以唯一確定，並且△ABC≌△A′B′C′，即圖形重合，所以可以證明∠C=90°.

當一個命題及其逆命題都成立時，可用同一法，凡能夠用同一法證明的問題，都可以改用反證法證明，但能夠用反證法證明的問題，不一定能用同一法證明 ^[3]  。

【例3】已知：如圖3，△ABC中，D、E是AB、AC的中點.求證：DE∥BC。

證明：假設DE不平行BC。過D作DE∥BC，交AC於E′。

∵DE′∥BC，AD=BD，

∴AE′=CE′.又∵AE=AE，

∴E點E′重合，

∴DE∥BC。