-
史坦納定理
鎖定
設△ABC的垂心為H,點D為△ABC外接圓上異於三角形頂點的任意一點,則點D關於△ABC的西姆松線通過線段DH的中點.(西姆松線見西姆松定理)
- 中文名
- 史坦納定理
- 外文名
- Steiner's theorem
- 別 名
- 九點圓定理推論2
- 提出者
- 史坦納
- 適用領域
- 幾何
- 應用學科
- 數學
史坦納定理應用定理
△ABC的外接圓上的一點D的關於邊BC、CA、AB的對稱點和△ABC的垂心H同在一條(與西姆松線平行的)直線上。這條直線被叫做點D關於△ABC的鏡象線.
史坦納定理定理證明
相比直接證明史坦納定理,證明史坦納定理的應用定理更為簡便。
設點D關於邊BC、CA、AB的對稱點分別為P、Q、R,則有:
∠BPC=∠BDC=∠BHC=180°-∠BAC(垂心的性質)
所以H、B、C、P四點共圓,同理有:
所以H、C、A、Q四點共圓.
所以H、A、B、R四點共圓.
證明垂心H在PQ上只要證明∠CHP與∠CHQ互補或相等.
由四點共圓和對稱性
∠CHP=∠CBP=∠CBD
∠CHQ=∠CAQ=∠CAD
∠CBD與∠CAD互補
所以有∠CHP與∠CHQ互補,即H在PQ上.
史坦納定理定理推論
在一個圓周上有4點,以其中任三點作三角形,再作其餘一點的關於該三角形的西姆松線,這些西姆松線交於一點。
- 參考資料
-
- 1. 史坦納定理 .巴別場[引用日期2014-02-01]