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可微函數
鎖定
在
微積分學中,可微函數是指那些在
定義域中所有點都存在
導數的函數。可微函數的圖像在定義域內的每一點上必存在非垂直切線。因此,可微函數的圖像是相對光滑的,沒有間斷點、尖點或任何有垂直切線的點。
一般來説,若
X是函數ƒ定義域上的一點,且ƒ′(
X)有定義,則稱ƒ在
X點可微。這就是説ƒ的圖像在(
X, ƒ(
X))點有非垂直切線,且該點不是間斷點、尖點。
[1]
- 中文名
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可微函數
- 外文名
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Differentiable function
- 應用學科
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數學
- 所屬領域
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微積分
- 相關術語
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可導函數
- 定 義
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在定義域中所有點都有導數的函數
- 類 型
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數學術語
可微函數可微性
若ƒ在
X0點可微,則ƒ在該點必
連續。特別的,所有可微函數在其定義域內任一點必連續。逆命題則不成立:一個連續函數未必可微。比如,一個有折點、
尖點或垂直切線的函數可能是連續的,但在
異常點不可微。
實踐中運用的函數大多在所有點可微,或
幾乎處處可微。但
斯特凡·巴拿赫聲稱可微函數在所有函數構成的集合中卻是少數。
[2]
這表示可微函數在連續函數中不具代表性。人們發現的第一個處處連續但處處不可微的函數是
魏爾斯特拉斯函數。
可微函數連續可微分類
函數f是連續可微(continuously differentiable),如果導數f'(x)存在且是連續函數。
連續可微函數被稱作
classC。一個函數稱作
classC如果函數的一階、二階導數存在且連續。更一般的,一個函數稱作
classC如果前
k階導數
f′(
x),
f″(
x), ...,
f(
x) 都存在且連續。如果對於所有正整數n,f存在,這個函數被稱為
光滑函數或稱
classC。
可微函數多元函數
如果一個函數的所有偏導數在某點的
鄰域內存在且連續,那麼該函數在該點可微,而且是class
C。(這是可微的一個
充分不必要條件)
形式上,一個多元實值函數
f:
R→
R在點
x0處可微,如果存在
線性映射J:
R→
R滿足
注意,偏導數都存在並不能保證函數在該點可微。
- 參考資料
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1.
吳傳生. 經濟數學——微積分 (第二版)[J]. 2009.
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2.
Banach, S. Uber die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen. Studia. Math. 1931, (3): 174–179.. Cited by Hewitt, E and Stromberg, K. Real and abstract analysis. Springer-Verlag. 1963. Theorem 17.8.