古典集合論

關於集合論在康托爾之前的先驅發展，應當特別提到捷克哲學家、數學家波爾查諾(Bolzano , B.)，在他的《無窮的悖論》一書中表現出他是第一個朝着建立集合的明確理論方向採取了積極步驟的人，在該書中他不僅維護了實在無窮集合的存在，並且強調了後來被稱之為二集合元素間的一一對應關係.直到他死後三年，即1851年，該書才出版.然而，總的來説，在19世紀康托爾以前，對於無限集的認識和研究，還是滯留於零碎不全的狀態.19世紀，由於工業科學和自然科學的發展，大大推動了微積分理論與應用的研究，當時的微積分迫切要求奠定其理論基礎，而當時的抽象代數實際上已在研究羣、環、域等具有特殊結構的無窮集，並且幾何學亦已走向開闢點集拓撲的新領域，所以就整個經典數學而言，迫切要求建立一個能統括各個數學分支，並能建樹其上的理論基礎.正是在這樣一個歷史背景下，康托爾系統地總結了長期以來數學的認識與實踐，締造了一門嶄新的數學學科，即集合論.區別於集合論的近代和現代的發展，通常把康托爾當時所創立並發展起來的集合論稱為古典集合論.又由於康托爾僅以素樸的形式陳述他的理論，既不明確其原始概念，也未明文羅列其公理，故又通常被稱之謂素樸集合論.古典集合論的創立，其最重要的歷史性意義有兩點:其一是實現了數學研究對象從有限與潛無限到實無限的再擴充，這就是德國數學家豪斯多夫（Hausdorff , F.） 所説的:“從有限推進到無限，乃是康托爾的不朽功績.”其二是為整個經典數學的各個分支提供了一個共同的理論基礎.

雖然古典集合論的創始者康托爾僅以素樸的形式陳述他的理論，既沒有明確原始概念，也沒有羅列其不證自明的思想規定，但只要對古典集合論的內容加以概括總結即可看出，康托爾當時的幾個主要基本原則或思想方法不外乎是:概括原則、外延原則、一一對應原則、延伸原則、窮竭原則和對角線方法.並且，其中概括原則與外延原則用於造集並確定集與集的相等，一一對應原則與對角線方法用於引出基數概念和確定更大基數的存在，延伸原則與窮竭原則用於描敍良序集的生成和確立實無限研究對象的存在.