反例法

當然，從某種意義上來説，所有例子都可以稱為反例，因為它總可以指出某命題(甚至是非常荒謬的命題)不成立。但這裏，我們討論的反例，是建立在數學上已證實的理論與邏輯推理基礎上的，並且具有一定作用的反例。舉反例也是一種證明的特殊方法，它可證明“某命題不成立”為真。一般地説，一個假命題的反例有多個，我們在舉反例時只選其中一個就可以了。

反例概念的產生與數學命題的結構密切相關，因此，數學上的反例可分為以下幾種類型：

1．基本形式反例

數學命題有以下四種基本形式：全稱肯定判斷，全稱否定判斷，特稱肯定判斷，特稱否定判斷，它們之間的關係可用下面的邏輯方陣來表示(圖6·5)。

全稱肯定判斷(所有S都是P)與特稱否定判斷(有S不是P)可以互為反例，全稱否定判斷(所有S都不是P)與特稱肯定判斷(有S是P)也可以互為反例。

2．關於充分條件假言判斷與必要條件假言判斷的反例

充分條件的假言判斷是斷定某事物情況是另一事物情況充分條件的假言判斷，可表述為p→q，即“有前者，必有後者”，但是“沒有前者，不一定沒有後者。”可舉反例“沒有前者，卻有後者”説明之。這種反例稱關於充分條件假言判斷的反例。

必要條件的假言判斷是斷定某事物情況是另一事物情況必要條件的假言判斷，可表述為p←q，即“沒有前者，就沒有後者”，但是“有了前者，不一定有後者”。可舉反例“有了前者，沒有後者”説明之。

3．條件變化型反例

數學命題的條件改變時，結論不一定正確。為了説明這一點所舉出的反例稱作條件變化型反例。條件變化有多種，有減少條件，有增加條件，有變化條件，考查這幾種情況下結論的變化，對數學科學研究與教學均是有益的。

1．發現原有理論的侷限性，推動數學向前發展

舉反例可直接促進數學新概念、新定理與新理論的形成和發展。數學史證明，對數學中探索的重大課題與數學猜想，能舉出反例予以推翻，與給出嚴格證明予以肯定，是同等重要的。

2．澄清數學概念與定理，為數學作出優雅的和藝術性很強的貢獻

數學中的概念與定理有許多結構複雜、條件結論犬牙交錯，使人不容易理解。反例則可以使概念更加確切與清晰，使定理的條件、結論之間的充分性、必要性指示得一清二楚。數學中有許多許多這樣的反例。

3．幫助學生學習數學基礎知識，提高他們的數學修養與培養科學研究能力

數學是一門嚴密的科學，它有自己獨特的思維特點和邏輯推理體系。不能憑直觀或想當然去理解它，這樣往往會“失之毫釐，差之千里”，而在數學教學中，讓學生掌握嚴密的邏輯推理與思維特點的同時，還掌握各類反例，這才會更深刻掌握數學基礎知識，以及提高數學修養與培養科學研究能力。

所謂特例構造法就是手中有一些極端情況與典型反例。極端情況如分式的分母為零、圖形為等邊三角形、兩直線平行與垂直等，特例在手，用時科學地組合，就可提出所需要舉的反例。

反例法一般用於否定一個判斷（通常是全稱判斷或不存在性判斷），反證法一般用於肯定一個判斷（先否定後肯定）。