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卡諾定理
（數學定理）
鎖定
三角形外心到各邊距離之和等於外接圓半徑與內接圓半徑之和，這一定理稱為卡諾定理，在推斷代數等領域中的三角形性質中有重要作用。
- 中文名
- 卡諾定理
- 提出者
- 卡諾
- 應用學科
- 數學
卡諾定理簡介
卡諾定理內容
三角形外心到各邊距離之和等於外接圓半徑與內接圓半徑之和
卡諾定理引理
在外接圓半徑為R，內接圓半徑為r的三角形ABC中，r和R有如下關係：
卡諾定理證明
假設ABC為外心為D的鋭角三角形，外心到AB、BC、AC的距離分別為DG、DH、DF，則在三角形HDB中，由外心性質可得
DB=R
角HDB=角A
由此，DH的表達式為
DH=RcosA
同理DG=RcosC、DF=RcosB。
因此，
根據引理，得證
DG+DH+DF=R+r
當ABC為鈍角三角形，且角B大於90°時，則有
DH=RcosA
DF=Rcos(π-B)=-RcosB
DG=RcosC
所以DG+DH-DF=R(cosA+cosB+cosC)=R+r，結論相同，卡諾定理得證。
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