協調博弈

考慮二人兩策略的協調博弈，參與者一的策略集為{A1,A2}，參與者二的策略集為{B1,B2}，設收益矩陣如下：

其中，a₁₁>a₂₁,a₂₂>a₁₂,b₁₁>b₁₂且b₂₂>b₂₁。

由納什均衡的定義可知，(A1,B1),和(A2,B2)為兩個純策略納什均衡。除此之外，博弈還存在一個混合策略納什均衡。下面計算其混合策略納什均衡：設玩家一選擇策略A1的概率為p，玩家二選擇策略B1的概率為q。

設玩家一和玩家二的收益分別為u1和u2，則

u1= a₁₁pq+a₂₁(1-p)q+a₁₂p(1-q)+a₂₂(1-p)(1-q)

u2= b₁₁pq+b₂₁(1-p)q+b₁₂p(1-q)+b₂₂(1-p)(1-q)

令∂u1/∂p=0和∂u2/∂q=0，計算可得

a₁₁q-a₂₁q+a₁₂(1-q)-a₂₂(1-q)=0

b₁₁p+b₂₁(1-p)-b₁₂p-b₂₂(1-p)=0

化簡後可得，p=(b₂₂-b₁₁)/(b₂₂+b₁₁-b₁₂-b₂₁),q=(a₂₂-a₁₁)/(a₂₂+a₁₁-a₁₂-a₂₁).

因此，該協調博弈的混合策略納什均衡為（pA1+(1-p)A2,qB1+(1-q)B2），即玩家一以 (b₂₂-b₁₁)/(b₂₂+b₁₁-b₁₂-b₂₁)概率選擇策略A1，以1-(b₂₂-b₁₁)/(b₂₂+b₁₁-b₁₂-b₂₁)概率選擇策略A2；玩家二以(a₂₂-a₁₁)/(a₂₂+a₁₁-a₁₂-a₂₁)概率選擇策略B1，以1-(a₂₂-a₁₁)/(a₂₂+a₁₁-a₁₂-a₂₁)概率選擇策略B2。

獵鹿博弈是一種典型的協調博弈，具體是這樣的一個情境：兩個人出去打獵，獵物為鹿和兔，他們互不知道對方選擇的獵物。如果選擇鹿，則需要另一人也選擇鹿，兩個人合作才能成功狩獵。如果選擇兔為獵物，則不需要合作也能成功，但是獵兔的收益要小於獵鹿。每個人可以選擇合作抓鹿或者獨自抓兔子，收益矩陣如下：

其中，1<a<2。

該博弈存在兩個純策略納什均衡：同時抓鹿，或同時抓兔。顯然，(Stag, Stag)的收益佔優，但當對方的選擇不確定時，(Hare, Hare)風險佔優。

協調博弈的一個典型案例是關於駕駛規則的案例，在大陸國家，規定靠右行駛，而在島國（英國、日本等），則規定靠左行駛。在日常生活中，如果公民廣泛地遵守這一社會標準，則可以避免不必要的危險。

假設兩個司機在一條狹窄的土路上相遇，為了避免正面碰撞，雙方都必須選擇靠左或者靠右行駛。如果兩人同時選擇靠左或者靠右行駛，他們都能通過對方，避免相撞，但如果他們選擇靠不同的方向行駛，那麼他們將發生碰撞。

設兩車不相撞的收益為5，相撞的收益為-10，收益矩陣如下：

在這種情況下，該博弈存在兩個純策略納什均衡：同時靠左，或同時靠右。在這個例子中，兩個玩傢俱體選擇靠哪側並不重要，重要的是他們選擇靠同一側。這兩個純策略納什均衡都是帕累託有效的。

範例1和範例2都是對稱協調博弈，下面來看看這個非對稱協調博弈的典型範例。有一對夫婦在為週末該做什麼而討論。妻子喜歡看歌劇，丈夫喜歡看足球，夫婦都知道，一起度過週末會令他們更開心，所以雙方都不希望和彼此分開。

設妻子和丈夫同時去看歌劇時，妻子的收益為10，丈夫的收益為5；妻子和丈夫同時去看足球時，妻子的收益為5，丈夫的收益為10；若兩人選擇不同的表演，妻子和丈夫的收益都為0。因此，收益矩陣如下：

在這種情況下，該博弈存在兩個純策略納什均衡：同時看歌劇，或同時看足球。在這個例子中，對夫妻兩人而言，最重要的是他們倆需要在一起；雖然選擇一起看歌劇或者看足球給夫妻二人帶來的收益有差別，但遠勝於兩人不在一起的情形。