半正定二次型

定型二次型是實二次型的類型。

設

是一個實二次型，

是任意 n 個不全為零的實數。實二次型分類如下：

1、若恆有

，則 f 稱為正定的。

2、若恆有

，則 f 稱為負定的。

3、若恆有

，則 f 稱為半正定的。

4、若恆有

，則 f 稱為半負定的。

5、其他情形的 f 稱為不定的。

正定、半正定、負定、半負定的二次型合稱為定型二次型；不定的二次型稱為不定型二次型。

高斯 (Gauss,C.F.) 在 1801 年出版的《算術的研究》中包含了對二次型的探討。他用行列式表示二次型

的判別式，還引進了正定、半正定、負定的概念。他引進的負定概念實際上是現在的半負定。 ^[1] 

設

，其中矩陣

是對稱陣，即

，

為列向量，若

，

，有

，則稱

為正定二次型，稱實對稱矩陣

正定。

例如，

即為正定二次型，其中

，

。