半完全數

如果一個自然數自身的全部或一部分真因數之和等於此數自身，則稱其為半完全數。顯然，所有完全數都是半完全數（如：6），一部分盈數也是半完全數（如：12），不是半完全數的盈數稱為奇異數（如：70）。

50以內的半完全數是：

6、12、18、20、24、28、30、36、40、42、48。 ^[2] 

12是半完全數，其數真因數有1、2、3、4、6，其中2+4+6=12，所以12是半完全數

完全數也是半完全數。半完全數不可能是虧數，因為虧數的所有真因數之和小於原數，所以無可湊成原數的對。

與盈數相似，奇半完全數和偶半完全數都有無窮多個，因為每個完全數和半完全數的倍數都是半完全數。另外，所有形式為

的正整數都是半完全數，其中m是正整數，p是一個素數，並且

。

每個大於20161的自然數都可以寫成兩個半完全數之和。

最小的奇半完全數是945(1+5+7+9+15+21+35+45+63+105+135+189+315=945或1+3+5+7+15+27+35+45+63+105+135+189+315=945)。

完全數可以用希臘人歐幾里得計算出的求完全數的公式，就是下面的公式：

你需要做的，是給“n”賦一個數值，然後代公式——但要切記括號內的結果也就是

必須是質數，而這隻有在“n”本身是質數時才會成立。換句話説，我們只需要把2，3，5，7，11，13，17，19等代入“n”。

如果你把2賦值給n代入，括號內就成了

，算一下得4-1=3,3恰好是質數，所以我們把2代入整個公式，得到：

繼續求解，得到：2×3=6。

我們知道6是一個完全數，因此公式成立。

我們再檢驗下一個質數：

是質數。因此我們把n=3代入公式，得到：4×7=28，它是下一個完全數。

是質數。因此我們把n=5代入公式，得到：16×31=496，它是下一個完全數。

是質數。因此把n=7代入公式，求得完全數8128。

幾百年前我們就知道它不是質數，因為23×89=2047，所以我們不用求完全數。

是質數。把n=13代入公式，得到4096×8191=33550336。

下幾個代入“n”的數是17(8589869056),19(137438691328)和31(2305843008139952128)都求出了完全數。但下一個完全數一下就飛躍到了n=61(2658455991569831744654692615953842176)。再下一個完全數一下就飛躍到了n=89(191561942608236107294793378084303638130997321548169216) ^[1]  。

若一個半完全數的所有真因數都是虧數，那麼其數就叫做本原半完全數。

最小的本原半完全數是6，最小的奇本原半完全數是945。