加法原理

加法原理是分類計數原理，常用於排列組合中，具體是指：做一件事，完成它可以有

類方法，在第一類方法中有

種不同方法，在第二類方法中有

種不同方法，……，在第

類方法中有

種不同方法，那麼完成這件事共有

種不同的方法。 ^[1] 

做一件事，完成它需要分成

個步驟，做第一步有

種不同方法，做第二步有

種不同方法，……，做第

步有

種不同方法，那麼完成這件事共有

種不同的方法。 ^[1] 

加法原理和乘法原理是兩個基本原理，它們的區別在於一個與分類有關，另一個與分步有關。運用以上兩個原理的關鍵在於分類要恰當，分步要合理。分類必須包括所有情況，又不要交錯在一起產生重複，要依據同一標準劃分；而分步則應使各步依次完成，保證整個事件得到完成，不得多餘、重複，也不得缺少某一步驟。 ^[1] 

分類計數原理、分步計數原理，回答的都是有關做一件事的不同方法種數的問題。兩者區別在於：分類計數原理針對的是“分類”問題，其中各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步計數原理針對的是“分步”問題，各步驟中的方法相互依存，只有各個步驟都完成才算做完這件事。兩個計數原理滲透了“以簡馭繁、化難為易”的基本思想。 ^[2] 

例1.如圖1，從甲地到乙地有兩條路可走，從乙到丙地有三條路可走，又從甲地不經乙地直達丙地有三條路可走，問從甲地到丙地的不同走法有幾種？

解：

第一類從甲直接到丙的有3種，第二類從甲經乙到達丙的有

種，因此從甲到丙地有

種不同的走法。

例2.書架上有不同的數學書5本，不同的物理書4本，不同的化學書3本。

（1）從中任取一本，有多少種不同的取法？

（2）從中每種各取一本，有多少種不同的取法？

分析：

（1）因為從數學、或從物理、或從化學這三類書的任一類中任取一本，都可一次性獨立完成“從中任取一本”這件事，即可分類完成，因此可用加法原理。

（2）因為在這裏不能一步到位，而需分三步進行才能完成。也就是在5本數學中取一本，還要從4本物理書與3本化學中各取一本，才能完成這件事，因此用乘法原理。

解：

（1）由加法原理，共有

種不同的取法

（2）由乘法原理，共有

種不同的取法 ^[1] 

例3. 用0-9這10個數字，可以組成多少個沒有重複數字的4位偶數?

分析：

這一問題的限制條件是：①沒有重複數字；②數字0不能排成在千位數上；③個位數字只能是0、2、4、6、8

從限制條件人手，可劃分如下：

如果從個位數人手，4位偶數可分為：個位數是0的4位偶數；個位數是2、4、6、8的4位偶數(0不能放在千位數上)；

如果從千位數入手，4位偶數可分為：千位數是1、3、5、7、9和千位數是2、4、6、8兩類。

如果4位數劃分為4位奇數和4位偶數兩類，先求出4位奇數的個數，用排除法可得解。

解：

當個位數上排0時，千位、百位、十位上可以從餘下的9個數字中任選3個來排列，故有

個；當個位在“2、4、6、8”中任選一個來排，則千位上從餘下的8個非零數字中任選1個，百位、十位上再從餘下的8個數字中任選2個來排，按分步計數原理有

個

數字排列問題對培養學生分析問題、解決問題的能力大有好處，本題是典型的具有簡單條件的排列問題，上述解法是最基本、最常見的解法，要認真體會每種解法的實質，掌握其解答方法，以期靈活運用。 ^[2] 

例4. 在奧運會的開幕式表演期間，某一安檢部門有6種不同工作要分配給6人擔任，每個人只擔任一種工作，且甲不能擔任其中某2種工作，問有幾種分配方法?

分析：本題是排列組合中的一道典型問題，根據題意“甲不能擔任其中某2種工作”，其基本解法有直接法、排除法等。

解：

先滿足特殊元素甲，甲能擔任的工作有4種，先分配甲，分配後，餘下工作由其餘5人分擔，有

種分擔方法，故共有分配方法數

^[2]