加權餘量法

加權餘量法是一種可以直接從微(積)分方程式求得近似解的數學方法，在計算力學中應用較多。在固體力學中，是求解線性、非線性微分方程的一種有效方法，它是基於等效積分形式的近似方法，也是通用的數值計算方法．有限元法、邊界元法、無網格法都是加權餘量法的特殊情況，由於這三種方法各有其特點，所以都各自發展為一種獨立的方法，加權餘量法最早是用於流體力學，傳熱等科學領域，後在固體力學中得到了更大的發展。

先假設一個稱為試函數的近似函數，把它代入要求解的微分方程和邊界條件或初值條件；這樣的函數一般不能完全滿足這些條件，因而出現誤差，即出現殘數或殘值；選擇一定的權函數與殘數相乘，列出在解的域內消滅殘數的方程式，就可以把求解微分方程的問題轉化為數值計算問題，從而得出近似解。

如某—應用科學問題的控制微分方程式和邊界條件分別為：

Fu-f=0 (V域)， （1）

Gu-f=0 (S邊界)， （2）

式中u為待求函數，F和G為算符；f和g為不含u的項。設試函數為：

式中C_i為待定參數或函數。式(3)一般不能滿足式(1)和式(2)，從而出現內部殘數R_i和邊界函數R_b，即

為消滅殘數，分別以內部權函數W₁和邊界權函數W_b乘式(4)和(5)，列出消除殘數的方程：

它們將轉變為代數方程式，從這些方程式求出C_i，就獲得滿足式(1)和式(2)的近似解(3)。

若解(3)中所選擇的試函數項N_i，事先已能滿足式(2)，則只需用式(6)消除殘數，這種方法稱為內部法。若N_i已滿足式(1)，則只需用式(7)消滅殘數，這種方法稱為邊界法。若N_i既不滿足式(1)，又不滿足式(2)，則須用式(6)和式(7)，這種方法稱為混合法。

作為一種數值計算方法，加權殘數法具有下述優點：①原理的統一性：尋求控制微分方程式的近似解，不分問題的類型和性質；②應用的廣泛性：數學、固體力學、流體力學、熱傳導、核物理和化工等多學科的問題都能應用；既可解邊值問題、特徵值問題和初值問題，也可解非線性問題；③不依賴於變分原理：在泛函不存在時也能解題；④計算誤差可知；⑤方法一般比較簡單、快速、準確，工作量少，程序簡單。

加權餘量法是求解微分方程近似解的一種有效方法．顯然，任何獨立的完全函數都可用來作為權函數，加權餘量法可分為內部法、邊界法和混合法，在內部法中，又可分為

1. 配點法，以笛拉克函數δ作為權函數

2. 子域法

3. 最小二乘法

4. 力矩法

5. 伽遼金法