劉維爾方程

在數學中，劉維爾方程（Liouville equation），又稱劉維 - 布拉-蓋爾芬德方程（Liouville-Bratu-Gelfandequation）是一個非線性特徵值泊松方程，以數學家約瑟夫·利維爾（Joseph Liouville）、布拉圖和以色列格爾芬德命名。方程式為：▽2ψ+λeψ=0。

此方程式出現在弗蘭克 - Kamenetskii理論的熱失控中以及錢德拉塞卡方程的天體物理學中。 這個方程還描述了發光線周圍的空間電荷，並描述了行星狀星雲。 ^[1] 

在笛卡爾座標（x，y）的二維平面中，約瑟夫·柳維爾在1853年提出了一個方程 ^[2]  ，

其中f（z）= u + iv是z = x + iy的任意分析函數。 1915年， Walker通過假設f（z）的形式找到了一個解。 如果

，那麼Walker的解

其中a是一些有限的半徑。 這個解在任何n趨向的無窮遠處衰減，但在n <1的原點處變為無窮大，在n = 1的起始處變得有限。 沃克還在1915年的文章中提出了兩個解。

如果要研究的系統是徑向對稱的，則n維度中的等式變為 ^[3] 

其中r是與原點的距離。 有邊界條件

對於λ≥0，該解僅適用於[0，λ_c]，其中λ_c是重要的參數。重要的參數是λ_c=0.88， n = 1，λ_c= 2，n = 2。對於n = 1， 2，存在兩個解，對於3≤n≤9，許多解，存在於圍繞λ=2（n-2）擺動的解。對於n≥10，解是唯一的