剪切變換

剪切變換(shear transformation)是空間線性變換之一。變換後的新座標值

如圖1(a)所示，相當於原座標值

經橫向剪切。其中

值為剪切常數。剪切變換可以僅是

座標、或僅是

座標受橫向剪切，也可以是兩個座標同時受橫向剪切。僅

座標受橫向剪切時的變換關係如圖1(b)所示，取決於下式所示的矩陣乘法運算 ^[1]  ：

僅

座標或

座標受剪切以及

與

座標同時受剪切時的變換矩陣分別為：

從一系列的旋轉、平移和縮放變換，我們可以得到任意的仿射變換，但是還有一類非常重要的變換——剪切變換，由於該類變換比較重要，所以我們把它當作基本變換，而不是從其他3類變換推導而來。考慮一個處於原點的立方體，該立方體的各表面對齊於各座標軸，從正

軸位置看到的視圖如圖2所示。如果把頂面向右拉而底面向左拉，會得到一個沿

軸方向剪切的對象。由於

軸和

軸方向都不受剪切影響，因此稱該剪切變換為

軸剪切，以區別於其他方向的剪切變換。利用圖3中簡單的三角幾何關係，我們發現可以用角度

來表示剪切變換的特性。該剪切變換方程為 ^[2]  ：

從上述3個方程，得到剪切變換矩陣為：

如果沿着相反方向進行剪切變換，則得到剪切的逆變換，因此有 ^[2] 

在3D環境下，對象可沿任一座標軸、任一座標平面或二者組合實現剪切變換。通用的3D剪切矩陣如下所示：

其中包含了6個剪切參數。該矩陣作用於某一頂點座標後的效果如下所示：

下面的示例顯示了沿

軸方向上的剪切變換且

對應的矩陣可表示為：

亦即，根據式(1)，

。圖4顯示了一個位於原點處的單位立方體經剪切變換後的效果 ^[3]  。