分治法

在計算機科學中，分治法是一種很重要的算法。字面上的解釋是“分而治之”，就是把一個複雜的問題分成兩個或更多的相同或相似的子問題，再把子問題分成更小的子問題……直到最後子問題可以簡單的直接求解，原問題的解即子問題的解的合併。這個技巧是很多高效算法的基礎，如排序算法(快速排序，歸併排序)，傅立葉變換(快速傅立葉變換)……

任何一個可以用計算機求解的問題所需的計算時間都與其規模有關。問題的規模越小，越容易直接求解，解題所需的計算時間也越少。例如，對於n個元素的排序問題，當n=1時，不需任何計算。

n=2時，只要作一次比較即可排好序。n=3時只要作3次比較即可，…。

而當n較大時，問題就不那麼容易處理了。要想直接解決一個規模較大的問題，有時是相當困難的。

分治法的設計思想是，將一個難以直接解決的大問題，分割成一些規模較小的相同問題，以便各個擊破，分而治之。

分治策略是：對於一個規模為n的問題，若該問題可以容易地解決（比如説規模n較小）則直接解決，否則將其分解為k個規模較小的子問題，這些子問題互相獨立且與原問題形式相同，遞歸地解這些子問題，然後將各子問題的解合併得到原問題的解。這種算法設計策略叫做分治法。

如果原問題可分割成k個子問題，1<k≤n ，且這些子問題都可解並可利用這些子問題的解求出原問題的解，那麼這種分治法就是可行的。由分治法產生的子問題往往是原問題的較小模式，這就為使用遞歸技術提供了方便。在這種情況下，反覆應用分治手段，可以使子問題與原問題類型一致而其規模卻不斷縮小，最終使子問題縮小到很容易直接求出其解。這自然導致遞歸過程的產生。分治與遞歸像一對孿生兄弟，經常同時應用在算法設計之中，並由此產生許多高效算法。

分治法所能解決的問題一般具有以下幾個特徵：

1) 該問題的規模縮小到一定的程度就可以容易地解決

2) 該問題可以分解為若干個規模較小的相同問題，即該問題具有最優子結構性質。

3) 利用該問題分解出的子問題的解可以合併為該問題的解；

4) 該問題所分解出的各個子問題是相互獨立的，即子問題之間不包含公共的子問題。

上述的第一條特徵是絕大多數問題都可以滿足的，因為問題的計算複雜性一般是隨着問題規模的增加而增加；第二條特徵是應用分治法的前提它也是大多數問題可以滿足的，此特徵反映了遞歸思想的應用；第三條特徵是關鍵，能否利用分治法完全取決於問題是否具有第三條特徵，如果具備了第一條和第二條特徵，而不具備第三條特徵，則可以考慮用貪心法或動態規劃法。第四條特徵涉及到分治法的效率，如果各子問題是不獨立的則分治法要做許多不必要的工作，重複地解公共的子問題，此時雖然可用分治法，但一般用動態規劃法較好。

分治法在每一層遞歸上都有三個步驟：

分解：將原問題分解為若干個規模較小，相互獨立，與原問題形式相同的子問題；

解決：若子問題規模較小而容易被解決則直接解，否則遞歸地解各個子問題；

合併：將各個子問題的解合併為原問題的解。

它的一般的算法設計模式如下：

Divide-and-Conquer(P)

1. if |P|≤n0

2. then return(ADHOC(P))

3. 將P分解為較小的子問題 P1 ,P2 ,...,Pk

4. for i←1 to k

5. do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) △ 遞歸解決Pi

6. T ← MERGE(y1,y2,...,yk) △ 合併子問題

7. return(T)

其中|P|表示問題P的規模；n0為一閾值，表示當問題P的規模不超過n0時，問題已容易直接解出，不必再繼續分解。ADHOC(P)是該分治法中的基本子算法，用於直接解小規模的問題P。因此，當P的規模不超過n0時直接用算法ADHOC(P)求解。算法MERGE(y1,y2,...,yk)是該分治法中的合併子算法，用於將P的子問題P1 ,P2 ,...,Pk的相應的解y1,y2,...,yk合併為P的解。

根據分治法的分割原則，原問題應該分為多少個子問題才較適宜？

各個子問題的規模應該怎樣才為適當？

答: 但人們從大量實踐中發現，在用分治法設計算法時，最好使子問題的規模大致相同。換句話説，將一個問題分成大小相等的k個子問題的處理方法是行之有效的。許多問題可以取 k = 2。這種使子問題規模大致相等的做法是出自一種平衡(balancing)子問題的思想，它幾乎總是比子問題規模不等的做法要好。

出處：網絡

實踐題目：

給定一個順序表，編寫一個求出其最大值和最小值的分治算法。

分析：

由於順序表的結構沒有給出，作為演示分治法這裏從簡順序表取一整形數組數組大小由用户定義，數據隨機生成。我們知道如果數組大小為 1 則可以直接給出結果，如果大小為 2則一次比較即可得出結果，於是我們找到求解該問題的子問題即: 數組大小 <= 2。到此我們就可以進行分治運算了，只要求解的問題數組長度比 2 大就繼續分治，否則求解子問題的解並更新全局解

以下是代碼。

*/

/*** 編譯環境TC ***/

#include <stdio.h>

#include <stdlib.h>

#include <limits.h>

#define M 40

/* 分治法獲取最優解 */

void PartionGet(int s,int e,int *meter,int *max,int *min){

/* 參數:

* s 當前分治段的開始下標

* e 當前分治段的結束下標

* meter 表的地址

* max 存儲當前搜索到的最大值

* min 存儲當前搜索到的最小值

*/

int i;

if(e-s <= 1){ /* 獲取局部解，並更新全局解 */

if(meter[s] > meter[e]){

if(meter[s] > *max)

*max = meter[s];

if(meter[e] < *min)

*min = meter[e];

}

else{

if(meter[e] > *max)

*max = meter[e];

if(meter[s] < *min)

*min = meter[s];

}

return ;

}

i = s + (e-s)/2; /* 不是子問題繼續分治,這裏使用了二分，也可以是其它 */

PartionGet(s,i,meter,max,min);

PartionGet(i+1,e,meter,max,min);

}

int main(){

int i,meter[M];

int max = INT_MIN; /* 用最小值初始化 */

int min = INT_MAX; /* 用最大值初始化 */

printf("The array's element as followed:\n\n");

rand(); /* 初始化隨機數發生器 */

for(i = 0; i < M; i ++){ /* 隨機數據填充數組 */

meter[i] = rand()%10000;

if(!((i+1)%10)) /* 輸出表的隨機數據 */

printf("%-6d\n",meter[i]);

else

printf("%-6d",meter[i]);

}

PartionGet(0,M - 1,meter,&max,&min); /* 分治法獲取最值 */

printf("\nMax : %d\nMin : %d\n",max,min);

system("pause");

return 0;

}

（1）二分搜索 ^[1] 

（2）大整數乘法

（3）Strassen矩陣乘法

（4）棋盤覆蓋

（5）合併排序

（6）快速排序

（7）線性時間選擇
　　（8）最接近點對問題

（9）循環賽日程表

（10）漢諾塔