分佈密度

分佈密度亦稱“概率的分佈密度”。設連續型隨機變量

落在區間

內的概率為

其中x是任何實數，△x>0是區間的長度，則比值

叫做隨機變量

在該區間上的“平均概率分佈密度”。如果當△x→0時，比值

的極限存在，則這極限叫做隨機變量

在點x處的概率分佈密度，簡稱分佈密度，記作

分佈密度的圖形

通常叫做“分佈曲線”。

連續型分佈是隨機變量的兩個常用的分佈類型之一，它的分佈函數不能用列表方式表示，若隨機變量ξ可取某個區間(c，d)中的一切值，且存在一個非負可積函數

，使得ξ的分佈函數

可以表示為

則稱ξ服從連續型分佈，或稱ξ是連續型隨機變量，

稱為ξ的分佈密度。

由定義顯然可知，連續性隨機變量X的分佈函數

是連續函數。

密度函數具有如下性質：

(1) 非負性：

(2) 規範性：

(3)

即連續型隨機變量ξ落在任一區間(a，b]內的概率等於分佈密度在該區間上的積分。由(1)式知道，

的值等於以

為底，以曲線

為頂的曲邊梯形的面積。由性質(2)知道，介於曲線

與x軸之間的平面圖形的面積為1；由性質(3)知道，ξ落在區間

的概率

等於以曲線

為曲邊，底為區間

的曲邊梯形的面積。

(4) 若x₀是

的連續點，則

(5) 因為

是連續函數，故有

即連續型隨機變量取任一單個值的概率為0。

由此可知：概率為0的事件不一定是不可能事件，稱之為幾乎不可能事件；同樣概率為1的事件也不一定是必然事件。 ^[1] 

由於連續型隨機變量取單點值得概率為0，因此，計算連續型隨機變量X落在某區間的概率時，區間是否包含端點是無需考慮的。因此，對於連續性隨機變量X，若a<b，有

常用的連續型分佈有正態分佈、均勻分佈、指數分佈、對數正態分部、韋布爾分佈、Γ分佈、Β分佈等。

對二維隨機向量

，用

表示它們的分佈函數，若存在非負的二元函數

，使對任意實數

有

則

稱為連續型隨機向量，

稱為連續型分佈函數，而

稱為

的分佈密度，其分佈密度有如下性質：

1.

2.

3. 若

在點

處連續，則有

4. 若

是

平面上的一個區域，則點

落在

內的概率為

亦即概率

等於以

為底、以曲面

為頂面的柱體體積。 ^[2] 

例1 設隨機變量X的概率密度為

試求X的分佈函數。

解： 當

時，

當時，

當時，

當時，

故得X的分佈函數為：

例2 設隨機變量X的密度函數為

(其中常數k>0)，

試求：（1）k的值；

（2）

（3）X的分佈函數。

解：（1）由

得

（2）

（3）由

則