分佈參數

分佈參數（distributed parameter）是統計學的基本概念之一。指統計學中用以區別分佈函數族{F_θ|θ∈Θ}中的各個分佈的指標θ的函數g(θ)和分佈的數字特徵，如總體均值、總體標準差、總體相關係數等。 ^[1] 

參數的所有可能值組成的集合Θ稱為參數空間。參數一般不易獲得，可根據反映總體情況的樣本求出的統計量去估計它。這種由樣本對總體參數作推斷，正是統計推斷經常要進行的工作。 ^[1] 

定義分佈所採用的大多數參數，根據其物理或幾何解釋，可分為三個基本類型。它們是：

(1)位置參數(記為γ) ^[2] 

位置參數γ確定了一個分佈函數取值範圍的橫座標。當γ改變時，相應的分佈函數僅僅向左或向右移動而不發生其他變化，因而又稱為位移參數。

例如，均勻分佈函數U(a，b)，其密度函數為

其中，參數a定義為位置參數，當a改變時(保持b-a不變)，f(x)向左或向右移動(參見圖1)。

(2)比例參數(記為β) ^[2] 

比例參數決定分佈函數在其取值範圍內取值的比例尺。β的改變只壓縮或擴張分佈函數，而不會改變其基本形狀。

例如，指數分佈函數Exp(β)，其密度函數為

圖2給出了β=2，1，0.5時f(x)的圖形。

(3)形狀參數（記為α） ^[2] 

形狀參數確定分佈函數的形狀，從而改變分佈函數的性質，例如韋伯分佈Weibull（α，β），其密度函數為

當α改變時，其形狀發生很大的變化。圖3給出了α=1，2，3時f(x)的圖形。

對於隨機變量X，Y，如果存在一個實數γ，使X與Y具有相同的分佈，則稱X與Y僅僅是位置上不同的變量；如果對於某個正實數β，使得βX與Y具有相同的分佈，則稱X與Y僅僅是比例尺不同的隨機變量；如果能找到實數γ與β，使γ+βX與Y具有相同的分佈，則稱X與Y僅在位置與比例上不同。如果不存在γ與β使γ+βX與Y的分佈相同，則X與Y或者其形狀參數不同，或者根本不服從同一類分佈。 ^[2] 

由觀測數據估計某一分佈參數的方法很多，使用最普遍的是最大似然估計，其他還有最小二乘估計、無偏估計等。這裏我們討論最大似然估計，其他方法可參閲有關文獻。 ^[2] 

先討論只有一個未知參數的情形，設該參數為θ，觀測數據為x₁，x₂，...，x_n。

在離散分佈情形，可令P_θ(x)為該分佈的概率質量函數，定義似然函數L(θ)為

則L(θ)是聯合質量函數，θ的最大似然估計值

是使L(θ)取最大值的θ，即對於所有可能的θ值，L(

)≥L(θ)。

在連續分佈情形，令f_θ(x)為該分佈的概率密度函數，其似然函數定義為L(θ)：

下面舉例説明如何由觀測值估計分佈參數。 ^[2] 

泊松分佈，被估計參數θ=λ（λ>0），分佈質量函數為P_λ(x)=e^-λλ^x/x!，(x=0,1,2,...)，則

令R(λ)=ln L(λ)，再計算

解得

又由

所以泊松分佈參數λ的最大似然估計值為