凸性不等式

凸性不等式是凸函數滿足的不等式。

設f為實線性空間 X 的凸集 K 上的凸函數，即對於任何

和任何 λ>0，f滿足

逐次應用這一不等式，可以得到：對於任何

，和任何

有

這個不等式即凸性不等式，也常稱為延森不等式。

當

，並且令

，上式變為“幾何平均不大於算術平均”不等式：

延森不等式的積分形式在應用上極為重要，設μ 是σ 代數 X 上的正測度，

，φ 關於μ 可積，f 是凸函數，則有延森不等式

許多著名的不等式都是延森不等式的特例。 ^[1] 

凸函數是數學函數的一類特徵。凸函數就是一個定義在某個向量空間的凸子集C（區間）上的實值函數。

凸函數是一個定義在某個向量空間的凸子集C（區間）上的實值函數f，而且對於凸子集C中任意兩個向量, f((x₁+x₂)/2)>=(f(x₁)+f(x₂))/2，則f(x)是定義在凸子集c中的凸函數（該定義與凸規劃中凸函數的定義是一致的，下凸）。