具奇性邊界條件的非線性橢圓及發展方程（組）解的研究

1916年，Bieberbach在研究幾何學問題時引入了帶有奇性邊界條件的橢圓型方程並討論了一個具體的模型。而帶有奇性邊界條件的拋物型方程的研究起步更晚，始於19世紀60年代。鑑於問題的難度並受到當時研究方法的限制，該方向早期進展緩慢，而近期成為偏微分方程研究領域中的一個熱門問題。.本項目旨在對某些有實際應用背景且有代表性的帶有奇性邊界條件的非線性橢圓型方程（組）和非線性發展方程（組）解的結構、漸近性質、爆破點集的分類和參數的臨界指標進行深入而細緻的討論。力圖在先驗估計、正則性、迭代方法、比較原理、上下解方法、上下解構造、自相似解的構造、能量方法和漸近分析方法等方法上有所改進和發展，取得系列具有理論創新的研究成果，揭示一些重要的自然現象。

本項目討論了在幾何學、隨機控制、統計物理學等學科中有廣泛應用的帶奇性邊界函數和權函數的非線性橢圓型方程的邊界爆破問題以及幾類來源於幾何分析、物理、化學反應動力學和力學等領域中的非線性偏微分方程(組)解的結構與性質。系統研究了 （1）一類帶奇性邊界函數和權函數且形式更為一般的擬線性橢圓型方程的邊界爆破問題, 給出了邊界爆破解的存在性、唯一性和解在邊界附近的漸近行為；（2）三種羣的捕食模型解的動力學行為及其平衡解的存在性與不存在性、唯一性、穩定性和分支和一類競爭模型entire解的存在性；（3）幾類非局部擴散方程(組)和時滯項反應擴散方程行波解的存在性和穩定性、一類週期淺水波方程組的解對於初值的非一致依賴性以及一類緩衝雙穩系統平面波的大時間行為；（4）閉凸浸入曲線非局部曲率流問題，找到了兩類具有互補旋轉對稱結構的閉凸浸入曲線，使其在該非局部流的作用下最終趨於(多重)圓圈，且在某種情況下曲線流將會發生奇性；（5） 幾類分數階偏微分方程和一些帶有測度項的非局部橢圓方程解的存在性以及一類隨機偏微分方程解的存在唯一性和噪聲項對該問題解的奇性的影響。 ^[1]