公理化方法

恩格斯曾説過：數學上的所謂公理，是數學需要用作自己出發點的少數思想上的規定。

公理化方法能系統的總結數學知識、清楚地揭示數學的理論基礎，有利於比較各個數學分支的本質異同，促進新數學理論的建立和發展。

現代科學發展的基本特點之一，就是科學理論的數學化，而公理化是科學理論成熟和數學化的一個主要特徵。

公理化方法不僅在現代數學和數理邏輯中廣泛應用，而且已經遠遠超出數學的範圍，滲透到其它自然科學領域甚至某些社會科學部門，並在其中起着重要作用。 ^[1] 

公理化方法發展的第一階段是由亞里士多德的完全三段論到歐幾里得《幾何原本》的問世．大約在公元前3世紀，希臘哲學家和邏輯學家亞里士多德總結了幾何學與邏輯學的豐富資料，系統地研究了三段論，以數學及其它演繹的學科為例，把完全三段論作為公理，由此推導出其它所有三段論法，從而使整個三段論體系成為一個公理系統．因此，亞里士多德在歷史上提出了第一個成文的公理系統。

亞里士多德的思想方法深深地影響了當時的希臘數學家歐幾里得。歐幾里得把形式邏輯的公理演繹方法應用於幾何學，從而完成了數學史上的重要著作《幾何原本》。他從古代的量地術和關於幾何形體的原始直觀中，用抽象分析方法提煉出一系列基本概念和公理。他總結概括出10個基本命題，其中有5個公設和5條公理，然後由此出發，運用演繹方法將當時所知的全部幾何學知識推演出來，整理成為演繹體系。《幾何原本》一書把亞里士多德初步總結出來的公理化方法應用於數學，整理、總結和發展了希臘古典時期的大量數學知識，在數學發展史上樹立了一座不朽的豐碑。

公理學研究的對象、性質和關係稱為“論域”，這些對象、性質和關係，由初始概念表示。例如歐氏《幾何原本》中只需取“點”、“直線”、“平面”；“在……之上”、“在……之間”、“疊合”作為初始概念。前三個概念所表示的三類對象和後三個概念所表示的三種關係就是這種幾何的論域。按照“一個公理系統只有一個論域”的觀點建立起來的公理學，稱為實質公理學。這種公理學是對經驗知識的系統整理，公理一般具有自明性。因此，歐氏《幾何原本》就是實質公理學的典範。 ^[1] 

公理化方法的發展大致經歷了這樣三個階段：實質（或實體）公理化階段、形式公理化階段和純形式公理化階段，用它們建構起來的理論體系典範分別是《幾何原本》、《幾何基礎》和ZFC公理系統。

《幾何原本》雖然開創了數學公理化方法的先河，然而它的公理系統還有許多不夠完善的地方，其主要表現在以下幾個方面：(1)有些定義使用了一些還未確定涵義的概念；(2)有些定義是多餘的；(3)有些定理的證明過程往往依賴於圖形的直觀；(4)有的公理(即平行公理)是否可用其它公理來證明或代替．這些問題成為後來許多數學家研究的課題，並通過這些問題的研究，使公理化方法不斷完善，並促進了數學科學的發展。

第五公設(即平行公設)內容複雜，陳述累贅，缺乏象其它公設和公理那樣的説服力，並不自明。因此，它能否正確地反映空間形式的性質，引起了古代學者們的懷疑。從古希臘時代到公元18世紀，人們通過不同的途徑和方法對這一問題進行了大量的研究工作，其中薩克裏( Saccheri，1667—1733)和蘭勃特( Lambert，1728-1777)等人考慮了兩個可能的與平行公設相反的假設，試圖證明出平行公設，但是他們的努力均歸於失敗．然而，在這些失敗中卻引出了一串與第五公設相等價的新命題和定理，即非歐幾何的公理和定理，它預示了一種新的幾何體系可能產生。

19世紀年輕的俄國數學家羅巴切夫斯基(Лобачевский1792-1856)產生了與前人完全不同的信念：首先，他認為第五公設不能以其餘的公理作為定理來證明；其次，除掉第五公設成立的歐氏幾何之外，還可能有第五公設不成立的新幾何系統存在。於是，他在剔除第五公設而保留歐氏幾何其餘公理的前提下，引進與第五公設相反的公理，從而構造了一個全新的幾何系統，它與歐氏幾何系統相併列。後來人們又證明了這兩個部分地相矛盾的幾何系統竟是相對相容的，即假定其中之一無矛盾，則另一個必定無矛盾，這樣以來，只要這兩個系統是無矛盾的，第五公設與歐氏系統的其餘公理就必定獨立無關。現在人們就用羅巴切夫斯基的名字命名了這一新的幾何學，並把一切不同於歐氏幾何公理系統的幾何系統統稱為非歐幾何。

非歐幾何的建立在數學史上具有劃時代的意義，標誌着人們對空間形式的認識發生了飛躍，從直觀空間上升到抽象空間。在建立非歐幾何的過程中，公理化方法得到了進一步的發展和完善。 ^[1] 

德國數學家帕斯(Moritz Pasch，1843-1930)通過對射影幾何公理化基礎的純邏輯的探討，第一次從理論上提出了形式公理學的思想。他認為，幾何學如果要成為一門真正的演繹科學，最根本的是推導的進行必須完全獨立於幾何概念的涵義，同樣地也必須不以圖形為依據，而所考慮的只能是被命題或定義所確定的幾何概念之間的關係。就是説，一個公理系統必然要有本系統裏不定義的概念，通過這些概念就可以給其它概念下定義，而不定義概念的全部特徵必須由公理表達出來。公理可以説是不定義概念的隱定義。有些公理雖然是由經驗提出來的，但當選出一組公理之後，必須不再涉及經驗及物理意義。公理決不是自明的真理，而是用以產生任一特殊幾何的假定。帕斯的這些思想已經表達了形式公理系統的特徵。

隨着數學的深入研究和射影幾何公理系統的建立，形式公理學的概念已經成熟。1899年希爾伯特《幾何學基礎》一書的發表，不僅給出了歐氏幾何的一個形式公理系統，而且解決了公理化方法的一系列邏輯理論問題。這本著作成為形式公理學的奠基著作。

希爾伯特幾何公理系統，除了有幾何模型外，還可以有其它模型(如算術模型)，所以它是一個形式公理系統，可以把其初始概念和公理看成是沒有數學內容的，數學內容是通過解釋賦予它們的，初始概念和公理完全可以用形式語言來陳述。因此，自從《幾何學基礎》問世以後，不僅公理化方法進入了數學的其它各個分支，而且也把公理化方法本身推向了形式化的階段。 ^[1] 

當一門科學積累了相當豐富的經驗知識，需要按照邏輯順序加以綜合整理，使之條理化、系統化，上升到理性認識的時候，公理化方法便是一種有效的手段。如近代數學中的羣論，便經歷了一個公理化的過程。當人們分別研究了許多具體的羣結構以後，發現了它們具有基本的共同屬性，就用一個滿足一定條件的公理集合來定義羣，形成一個羣的公理系統，並在這個系統上展開羣的理論，推導出一系列定理。 ^[2] 

不但對建立科學理論體系，訓練人的邏輯推理能力，系統地傳授科學知識，以及推廣科學理論的應用等方面起到有益的作用，而且對於進一步發展科學理論也有獨特的作用。例如在代數方面，由於公理化方法的應用，在羣論、域論、理想論等理論部門形成了一系列新的概念，建立了一系列新的聯繫並導致了一系列深遠的結果；在幾何方面，由於對平行公設的研究導致了非歐幾何的創立。因此，公理化方法也是在理論上探索事物發展規律，作出新的發現和預見的一種重要方法。 ^[2] 

介乎於邏輯學和數學之間的邊緣學科—— 數理邏輯，用數學方法研究思維過程中的邏輯規律，也系統地研究數學中的邏輯方法。因此，數學中的公理方法是數理邏輯所研究的一個重要內容。由於數理邏輯是用數學方法研究推理過程的，它對公理化方法進行研究，一方面使公理化方法向着更加形式化和精確化的方向發展，一方面把人的某些思維形式，特別是邏輯推理形式加以公理化，符號化。這種研究使數學工作者增進了使用邏輯方法的自覺性。 ^[2] 

任何一門科學都不僅僅是蒐集資料，也決不是一大堆事實及材料的簡單積累，而都是有其自身的出發點和符合一定規則的邏輯體系。公理化方法對現代理論力學及各門自然科學理論的表述方法都起到了積極的借鑑作用。例如牛頓在他的《自然哲學的數學原理》鉅著中，系統地運用公理化方法表述了經典力學理論體系；本世紀40年代波蘭的巴拿赫完成了理論力學的公理化；愛因斯坦運用公理化方法創立了相對論理論體系。狹義相對論的出發點是兩個基本假設：相對性原理和光速不變原理。愛因斯坦以此為前提，邏輯地演繹出四個推論：“尺縮效應”、“鐘慢效應”、“質量增大效應”和“關係式”．這些就是愛因斯坦運用公理化方法，創立的狹義相對論完整理論體系的精髓。 ^[2] 

公理是對諸基本概念相互關係的規定，這些規定必須是必要的而且是合理的。因此，一個嚴格完善的公理系統，對於公理的選取和設置，必須具備如下三個基本要求：

這一要求是指在一個公理系統中，不允許同時能證明某一定理及其否定理。反之，如果能從該公理系統中導出命題A和否命題非A(記作-A)，從A與-A並存就説明出現了矛盾，而矛盾的出現歸根到底是由於公理系統本身存在着矛盾的認識，這是思維規律所不容許的。因此，公理系統的無矛盾性要求是一個基本要求，任何學科，理論體系都必須滿足這個要求。

這一要求是指在一個公理系統中的每一條公理都獨立存在，不允許有一條公理能用其它公理把它推導出來，同時使公理的數目減少到最低限度。

這就是要求確保從公理系統中能推出所研究的數學分支的全部命題，也就是説，必要的公理不能減少，否則這個數學分支的許多真實命題將得不到理論的證明或者造成一些命題的證明沒有充足的理由。

從理論上講，一個公理系統的上述三條要求是必要的，同時也是合理的。至於某個所討論的公理系統是否滿足或能否滿足上述要求，甚至能否在理論上證明滿足上述要求的公理系統確實存在等，則是另外一回事了。應該指出的是，對於一個較複雜的公理體系來説，要逐一驗證這三條要求相當困難，甚至至今不能徹底實現。 ^[2] 

1．要積累大量的經驗、數據和資料，對這些經驗資料進行分析歸納，使之系統化，最後上升為理論。因為公理系統的建立是以大量的事實為基礎，以豐富的經驗和已有的科學知識為前提的，設此無彼。

2．數學公理化的目的是要把一門數學整理成為一個演繹系統，而這一系統的出發點就是一組基本概念和公理。因此，要建立一門數學的演繹系統，就要在第一步的基礎上，從原有的資料、數據和經驗中選擇一些基本概念和確定一組公理，然後由此來定義其它有關概念並證明有關命題。選取的基本概念是不定義概念，必須是無法用更原始、更簡單的概念去確定其涵義的，也就是説，它是高度純化的抽象，是最原始最簡單的思想規定。

3．在確定了基本概念和公理之後，就要由此出發，經過演繹推理，將一門數學展開成一個嚴格的理論系統。也就是説，對系統中的每一概念予以定義，而每一個定義中引用的概念必須是基本概念或已定義過的概念；對其它每一命題都給予證明，而在證明中作為論據的命題必須是公理或者已經證明為真實的定理。因此，一門數學的演繹系統就是這門數學的基本概念、公理和定理所構成的邏輯的鏈條。

在上述過程中，從認識論的角度來看，任何公理系統的原始概念和公理的選取必須反映現實對象的本質和關係。就是説，應該有它真實的直觀背景而不是憑空臆造。其次，從邏輯的角度看，則不能認為一些概念和公理的任意羅列就能構成一個合理的公理系統，而一個有意義的公理系統必須是一個邏輯相容的體系。 ^[2] 

一個公理系統的相容性是至關重要的，因為一個理論體系不能矛盾百出。而獨立性和完備性的要求則是次要的。因為在一個理論體系中，如果有多餘的公理，對於理論的展開沒什麼妨礙；如果獨立的公理不夠用，數學史上常常補充一些公理，逐步使之完備。下面僅就公理系統的相容性證明作一介紹。 ^[2] 

關於相容性徵明這一概念的產生和歷史發展的背景是這樣的：自從羅巴切夫斯基幾何誕生後，由於羅氏平行公理(過平面上一已知直線外的一點至少可以引兩條直線與該已知直線平行)如此地為常識所不容，這才真正激起了人們對於數學系統的無矛盾性證明的興趣和重視。後來，龐卡萊(Poincare`，1854-1912)在歐氏半平面上構造了羅氏幾何的模型，把羅氏系統的相容性證明通過一個模型化歸為歐氏系統的相容性證明，但卻由此導致了人們對歐氏系統相容性的重重疑慮。幸虧那時已經有了解析幾何，這就等於在實數系統中構造了一個歐氏幾何的模型。這就把歐氏幾何的無矛盾性歸結到了實數論的相容性。那麼實數論的相容性如何？戴德金(Dedekind，1831-1916)把實數定義為有理數的分劃，也即有理數的無窮集合，因而把這個無矛盾性歸結到了自然數系統的無矛盾性。又由於弗雷格( Frege，1848-1925)的自然數的概念是藉助集合的概念加以定義的，因此，歸來歸去還是把矛盾集中到集合論那裏去了。那麼集合論的相容性如何？事實上，集合論的相容性正處於嚴重的“危機”之中，以致這種相容性的證明至今還未解決。 ^[2] 

龐卡萊為證明羅氏幾何的相容性，在歐氏系統中構造了一個羅氏幾何的模型。即在歐氏平面上劃一條直線a將其分成上、下兩個半平面，把不包括這條直線在內的上半平面作為羅氏平面，其上的歐氏點當作羅氏幾何的點，把以該直線上任一點為中心，任一長為半徑的半圓周作為羅氏幾何的直線，然後對如此規定的羅氏幾何元素一一驗證羅氏平行公理是成立的。

過羅氏平面上任一羅氏直線l外的一點P，確實可以作出兩條羅氏直線與l平行。因為歐氏直線a上的點不是羅氏幾何系統的元素，所以兩個半圓相交於直線a上某一點則應看作相交於無窮遠點，從而在有窮範圍內永不相交。

這樣以來，如果羅氏系統在今後的展開中出現了正、反兩個互相矛盾的命題的話，則只要按上述規定之幾何元素間的對應關係進行翻譯，立即成為互相矛盾的兩個歐氏幾何定理．從而歐氏系統就矛盾了。因此，只要承認歐氏系統是無矛盾的，那麼羅氏系統一定也是相容的。這就把羅氏系統的相容性證明通過上述龐卡萊模型化歸為歐氏系統的相容性證明。這種把一個公理系統的相容性證明化歸為另一個看上去比較可靠的公理系統的相容性證明，或者説依靠一個數學系統的無矛盾性來保證另一個數學系統的協調性叫做數學系統的相對相容性證明。 ^[2] 

由於相對相容性的出現，使人們對歐氏系統的相容性也憂心重重。而更糟的是，在羅氏系統的展開中人們又發現，羅氏幾何空間的極限球面上也可構造歐氏模型，即歐氏幾何的全部公理能在羅氏的極限球上實現，於是歐氏幾何的相容性又可由羅氏幾何的相容性來保證！這説明歐氏與羅氏的公理系統雖然不同，但卻是互為相容的。人們當然不滿足於兩者互相之間的相對相容性證明，因為看上去較為合理的歐氏系統的無矛盾性竟要由看上去很不合理的羅氏系統來保證，這是難以令人滿意的。於是人們開始尋求直接的相容性證明，本世紀初數學基礎論就誕生了。由於在這一工作中所持的基本觀點不同，在數學基礎論的研究中形成了諸如邏輯主義派、直覺主義派和形式公理學派三大流派。這些流派雖然並未最後解決相容性證明問題，但在方法論上卻各有貢獻，他們的方法論、思想方法對於數學的研究與發展都具有重要的意義，有些還值得進一步分析、探討、繼承和發展。 ^[2]