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公差

(數理科學概念)

鎖定
如果一個數列從第2項起,每一項與它前一項的差等於同一個常數,這個數列就叫作等差數列,這個常數叫作這個等差數列的公差,記作d. [1] 
中文名
公差
外文名
Common difference
所屬領域
數理科學
性    質
等差數列的參數
定    義
如果一個數列從第2項起,每一項與它前一項的差等於同一個常數

公差定義

從第二項起,每一項都等於前一項加上同一個數d的有限數列或無限數列.又叫算術數列.這個數d稱為等差數列的公差.等差數列可以記作 [2] 
等差數列從第二項開始每一項是前項和後項的算術平均數.
如果等差數列的公差是正數,則該等差數列是遞增數列;
如果等差數列的公差是負數,則該數列是遞減數列;
如果等差數列的公差等於零,則該數列是常數列.
對於一個數列al,a2,…,an,…,如果它的相鄰兩項之差a2-a1,a3-a2,…,an+1-an,…構成公差不為零的等差數列,則稱數列{an}為二階等差數列. 運用遞歸的方法可以依次定義各階等差數列:對於數列{an},如果{an+1-an}是r階等差數列,則稱數列{an}是r+1階等差數列.二階或二階以上的等差數列稱為高階等差數列.
r階等差數列的通項公式可以用一個關於項數n的r次多項式來表示,反之,通項公式為項數n的r次多項式的數列必為r階等差數列. [2] 
高階等差數列的求和方法主要有兩種,一種是將其通項(項數n的r次多項式)表成差分多項式的線性組合從而求和.另一種是利用自然數冪的求和公式,如
r階等差數列的前n項和公式是項數n的r+1次多項式,對r不太高的情況也可用待定係數法來確定.
二階等差數列的通項
式中an是第n項,a1是第一項,n為項數,d1是數列的後項減去緊鄰的前一項所得的第一次差構成的數列的首項,d2是第二次差.例如二階等差數列1,4,9,16,25,36,49,…,通項
二階等差數列錢n項和
例如二階等差數列{n^2}前n項和
{
}是等差數列
=常數d,d為等差數列{
}的公差. [1] 

公差相關公式

設{
}是等差數列,d為等差數列{
}的公差,則有如下公式: [1] 
等差數列的通項公式:
等差數列的一般形式:
等差數列的前n項和公式:

公差相關性質

(1)常數列:C,C,…,C是公差d=0的等差數列.
(2)等差中項:如果a,A,b成等差數列,則A叫作a與b的等差中項,且A=(a+b)/2.
(3)若Sn是等差數列的前n項和,則Sn,
-
,…是一個等差數列
(4)若{
}是等差數列,公差d>0時{
}是遞增數列,d<0時{
}是遞減數列
(5)在同一數列中,當m+n=p+q時,
+
=
+
[1] 
參考資料
  • 1.    全國專業學位碩士聯考專用教材編寫組組編,周盛華,黃繼華主編.MBA MPA MPAcc2016數學高分速通:機械工業出版社,2015.07
  • 2.    曹才翰,沈復興,孫瑞清,餘炯沛等.中國中學教學百科全書·數學卷:瀋陽出版社,1991-05