全量理論

塑性全量理論，塑性力學中用全量應力和全量應變表述彈塑性材料本構關係的理論，又稱塑性變形理論。是描述簡單加載條件下金屬塑性變形過程中應變和應力之間關係的物性方程(本構方程)。它是簡單加載條件下，增量理論的簡化方程，所以是塑性加工力學中最簡單的本構方程。

簡單加載 也稱比例加載，是指加載過程中物體內任一點的應力分量均按比例增加。

控制變量變分原理的基礎理論之一是現代控制論中的最優控制理論。因此最首要的是確定系統的參數和建立系統的狀態方程，即所謂“系統辯識”問題。系統的參數可分為狀態變量和控制變量二部分。所謂狀態變量是指能夠完全描述系統狀態的最小的一組變量。就彈塑性全量邊值問題而言,確定系統狀態的物理量有位移、應變和應力共15個變量，其中有些通過定解方程可以從另一些量導出，有些則因其所描述的定解方程被變分極值的結果所取代而不必顯式給出，因此完全描述系統並不同時需要這麼多變量。對於最小勢能原理，可取位移(三個變量)作為狀態變量；對於最小余能原理，狀態變量取應力(共六個)。一般地，對於廣義變分原理，狀態變量可以是上述15個變量中的某些組合，這就要看所選用的能量泛函的形式了。在彈塑性系統中，流動參數d入控制着系統作彈性或塑性狀態的變化，保證屈服條件不致破壞，因而可作為系統的控制變量。

系統的狀態方程是描述實際系統各物理量之間關係的數學表達式。對於彈塑性系統來説，描述各物理量之間內在聯繫的是本構關係，因此本構關係可以作為系統的狀態方程。經推導後表達成一定實用形式的本構關係稱為本構狀態方程。從可控性的角度考慮，一般要求在控制容許域內本構狀態方程能夠保證控制變量具有唯一性。當本構狀態方程表達成線性互補的形式時，可滿足這一要求，且最終的有限元數值解呈線性狀態，可大大簡化計算 ^[1]  。

在加載過程中，若應力張量各分量之間的比值保持不變。按同一參數單調增加，則加載稱為簡單加載，不滿足這個條件的叫複雜加載。在簡單加載下，用全量應力和全量應變表達的本構方程為：

式中

和

分別為應力偏量的分量和應變偏量的分量。

塑性全量理論，嚴格地説，要求結構內部每一質點的材料都經歷簡單加載的歷史。但實際結構大多數是在非均勻應力條件下工作的，要保證結構內部每一點都滿足簡單加載條件，對於結構所承受的載荷和結構的材料必須提出某些要求。伊柳辛指出，如果滿足如下的四個條件，結構內各點都經歷簡單加載：①小變形；②所有外載荷都通過一個公共參數按比例單調增加，如有位移邊界條件，只能是零位移邊界條件；③材料是不可壓縮的。這就是簡單加載定理。

進一步的研究還表明，全量理論不僅在簡單加載的條件下適用，對於某些偏離簡單加載的加載路徑也適用。至於在一般情況下應力路徑偏離簡單加載路徑多遠仍可使用全量理論的問題，還需要繼續從理論和實驗兩方面進行研究。由於全量理論的公式比較簡單，應用於實際計算比塑性增量理論方便，因此，使用相當廣泛。

在複雜結構件的強度試驗中，零組件、構件的拉斷、屈服及失穩現象是結構破壞過程的主要表現形式。構件塑性形態的產生、發展直到最後破壞，均與試驗過程中構件承載的應力密切相關。通常情況下應力是判斷結構承載能力最重要的依據，但結構實驗檢測到的直接數據是構件變形而不是應力，所以在研究彈塑性問題時，把直接檢測到的應變通過應力應變表述函數轉換成對應載荷下的確切應力至關重要 ^[2]  。

研究彈塑性問題時，通常使用塑性增量理論或塑性全量理論。在增量理論中，應力與應變的全量關係必然與加載路徑有關，但是，這在複雜結構試驗中很難搞清楚。在理論研究和大量試驗數據的基礎上，應用全量理論，提出一種新的應力應變表述函數，從而為解決複雜應力狀態下的彈塑性問題提供理論依據。