全稱量化

在謂詞邏輯中，全稱量化是嘗試形式化某個事物(邏輯謂詞)對於所有事物或所有有關的事物都為真的概念。結果的陳述是全稱量化後的陳述，我們在謂詞上有了全稱量化。 ^[1]  在符號邏輯中，全稱量詞(典型的 "∀")是用來指示全稱量化的符號。

假設你要説的是

2·0 = 0 + 0，以及 2·1 = 1 + 1，以及 2·2 = 2 + 2，等等。

由於“以及”一詞的重複使用，這似乎是一個邏輯合取。然而形式邏輯中的合取概念卻不能表達出“等等”一詞的含義。因此將該命題改述為

對任意自然數 n，都存在 2·n = n + n。

這便是一個使用全稱量化的單一命題。

請注意，事實上該命題比原命題更精確。很明顯，“等等”一詞表示的是要包括所有的自然數、且除此之外不包括任何其它內容，但語言中並沒有明確地陳述這點，這便是“等等”一詞不能被形式地解釋的根本原因。

這個特定的例子中的命題是真值的，因為可以對 n 取任何自然數都使命題“2·n = n + n”成立。反之，命題“對任何自然數 n，都有 2·n ＞ 2 + n”則是假值的，因為舉例來説，將其中的 n 用 1 來取代，就能得到假命題“2·1 ＞ 2 + 1”。儘管對“大多數”自然數 n 來説，命題“2·n ＞ 2 + n”都成立，但只要存在一個反例便足以舉證該全稱命題為假。

另一方面，“對任何合數n，都有 2·n ＞ 2 + n”是真命題，因為所有的反例均不是合數。這説明了論域的重要性，其指定了 n 可以取哪些值。然而特別地須注意，如欲將論域限定為僅由滿足一特定謂詞的對象組成時，則對全稱量化來説，要使用一個邏輯條件來實現。例如，命題“對任何合數 n，都有“2·n ＞ 2 + n”是邏輯等價於命題“對任何自然數 n，如果 n 為合數，則 2·n ＞2 + n”的。這裏的“如果……則”結構指出了邏輯的條件限制。

在符號邏輯中，我們使用全稱量詞“∀”（一個倒置的無襯線體字母“A”）來説明全稱量化。從而，若命題P(n)陳述的是“2·n ＞ 2 + n”，且N是自然數集的話，則

∀n∈N P(n) 表示的即是（假）命題

“對任何自然數集n，都有 n, 2·n ＞2 + n”。

類似地，若命題 Q(n) 陳述的是 “n 為合數”，則

∀n∈N Q(n)→P(n)表示的是（真）命題

“對任何合數 n，都有 2·n ＞ 2 + n”。 這裏給出一種僅用於表示全稱量化的特殊符號表示：

(n∈N) P(n)

默認情況下，圓括號表示的是全稱量化。

注意到一個量化的命題函數的結果是一個命題；因此象命題一樣，量化的函數也可被否定。數學家和邏輯學家用來表示否定的符號是：￢。

舉例來説，定義 P(x) 為命題函數“x 已婚”；則對所有活人組成的論域 X，考慮全稱量化“對給定的任何活人 x，此人都已婚”：

∀x∈X P(n)

只用幾秒鐘的考慮就能證明這個命題無可改變地為假；於是我們可以切實地説：“並非都是這樣的情況，即：對給定的任何活人 x，此人都已婚”，或以符號記作：

￢∀x∈X P(n)

.

推理規則是指由假設到結論的過程中證明一個邏輯步驟成立的規則。有若干推理規則利用了全稱量詞。

普遍例證(Universal instantiation)推定出的結論是這樣的：若已知命題函數普遍成立，則其必對論域中任何隨意給出的元素均成立。將此符號化地表示為

∀x∈X P(x) → P(c)

其中 c 是論域中可完全隨意確定的某個元素。

普遍概括(Universal generalization)推定出的結論是這樣的：若命題函數對論域中任何隨意給出的元素均成立，則其普遍成立。以符號表示為：對某個可隨意確定的 c，

P(c) → ∀x∈X P(x)

特別重要的是必須注意到，c 必須是完全隨意確定的；否則便不能遵循該邏輯：若 c 不是隨意確定的、而是論域中的一個特定元素，則 P(c) 僅説明藴意着該命題函數的某個存在量化可成立。