內插

按特定函數的性質分，有線性內插、非線性內插等；

按引數(自變量)個數分，有單內插、雙內插和三內插等。

我國古代早就發明了內插法，當時稱為招差術。如公元前1世紀左右的《九章算術》中的“盈不足術”即相當於一次差內插(線性內插)；隋朝作《皇極曆》的劉焯發明了二次差內插(拋物線內插)；唐朝作《太衍歷》的僧一行又發明了不等間距的二次差內插法；元朝作《授時歷》的郭守敬進一步發明了三次差內插法 ^[1]  。在劉焯1000年後，郭守敬400年後，英國牛頓才提出內插法的一般公式。

內插：

假設一組已知的數據其型態為

假設某些點並不屬於上述的型態，但是，如果我們要估計這些點的函數值就須要做內插(interpolation)。我們可以視原數據所描述的函數複雜程度來選擇不同的數值內插方法。

內插法，一般是指數學上的直線內插 ^[2]  ，利用等比關係，是用一組已知的未知函數的自變量的值和與它對應的函數值來求一種求未知函數其它值的近似計算方法，是一種未知函數，數值內插法逼近求法。天文學上和農曆計算中經常用的是白塞爾內插法，可參考《中國天文年曆》的附錄。另外還有其他非線性內插法：如二次拋物線法和三次拋物線法。因為是用別的線代替原線，所以存在誤差。可以根據計算結果比較誤差值，如果誤差在可以接受的範圍內，才可以用相應的曲線代替。一般查表法用直線內插法計算。

數學內插法即“直線插入法”，其原理 ^[2]  為：

若A(i1,b1),B(i2,b2)為兩點，則點P（i,b)在上述兩點確定的直線上；而工程上常用的為i在i1,i2之間，從而P在點A、B之間，故稱“直線內插法”。

數學內插法説明點P反映的變量遵循直線AB反映的線性關係。

易得，A、B、P三點共線，則(b-b1)/(i-i1)=（b2-b1)/(i2-i1)=直線斜率，變換即得所求。

線性內插是假設在二個已知數據中的變化為線性關係，因此可由已知二點的座標(a,b)去計算通過這二點的斜線，公式如下：

其中a<b<c在上式的b點即是代表要內插的點，f(b)則是要計算的內插函數值。

語法結構為YI=interp1(X,Y,XI),其中X,Y為已知數據，XI為要插值的數據點。如果語法結構為YI=interp1(X,Y,XI,'method'),其中method可以為linear,nearest,cubic,spline等表示線性、最近、立方、樣條差值。

二維內插與一維內插的區別是二維內插數據為二維。

語法結構為interp2(X,Y,Z,XI,YI),其中X,Y,Z為已知數據,Z=Z(X,Y),而XI,YI為要插值的數據點;如果語法結構為interp2(X,Y,Z,XI,YI,'method'),其中method可以為linear,cubic表示線形或三次方插值。

它可以用interp1指定內插方式為spline來做。另一種方式也可以用spline(x,y,xi)來做，其中的x,y,xi的用法與interp1中的語法相同。事實上這二種方法採用相同的spline函數做運算，也就是當我們執行interp1(x,y,xi,'spline')時，MATLAB即呼叫spline(x,y,xi)做運算，再將計算結果傳回interp1。