元數學

元數學是一門數理邏輯方面的學科，其主要研究對象是數學本身的矛盾性問題。元數學研究的是數理邏輯方面的問題。作為一門科學來説，數理邏輯從19世紀中葉就開始存在了。在這期間，數學基礎研究的兩個相繼時代，由於集論與分析算術化而達到了一個頂峯。但是到了1900年前後出現了新的危機，這是由羅素與懷特黑、希爾伯特與布勞維等所支配的新時代。

1931年哥德爾的兩個不完備性定理的發表，1933年塔斯基的關於形式語言中“真”這一概念的著作的發表，1934年厄勃朗一哥德爾的“一般遞歸函數”概念的提出，1936年與前者有關的邱吉論題的提出，開始了一個更新的時代。在這個時代中，數學工具被應用到評價先前的對話和過去所無法預見的新方向上去了，具體地説就是要研究過去人們所依賴的數學知識是否是無矛盾的。

數學的矛盾性主要是使用集合產生的。希爾伯特提出了一個“直接方法”：由矛盾性的意義得出，即在數學中不能由公理推出矛盾。比如一個命題A及它的否定命題就不能均是數學定理。這樣，直接證明數學理論的無矛盾性，就只需證明關於數學理論本身的一些命題。於是，被證明無矛盾的那個數學理論，又變成另一個數學範疇研究的對象，而後一個數學範疇就稱為“元數學”。 ^[1] 

許多關於數學基礎與數學哲學的論説都涉及元數學的概念，它們往往不能被當作我們通常所説的“問題”來處理。元數學的基本假設是：數學的內容可以由一個形式系統獲得，比如一個序理論或一個公理化集合論。

元數學與數理邏輯休慼相關，因而這兩者的發展也大同小異。元數學的發端大概要追溯到弗雷格的工作：《概念文字》。 ^[2]  大衞·希爾伯特首先引進了帶有正則性的“元數學”（metamathematics with regularity）這一説法（見希爾伯特計劃）。這也就是現在所説的證明論。另一個重要的現代分支是模型論。這一領域的其他重要人物有：伯特蘭·羅素，斯科爾姆（Thoralf Skolem），普斯特（Emil Post），邱奇，克萊尼，蒯因，貝納瑟拉夫（Paul Benacerraf），普特南，柴汀（Gregory Chaitin），以及最著名的塔斯基和哥德爾。特別地，哥德爾證明了：給定任意有限多條皮亞諾算術的公理，都存在一些正確的命題，無法用所給公理來證明，即所謂的哥德爾不完備定理。某種意義上來説，這一結果是迄今為止元數學與數學哲學的最高成就。

元數學包括了形式體系的描述或定義以及關於形式體系的性質的研究。整個元數學涉及三個層次：

①非形式的理論，由它形式化以後便得到一個形式體系；

②形式體系或對象理論；

③元理論，描述出形式體系，並研究形式體系。

元數學在形式化系統中研究問題，只要是研究形式化理論的學科都可以在其中汲取到一定的營養。在元數學的範疇中，當需要處理一個特殊的形式體系時，可以把這個形式體系稱為對象理論，而關於它的元數學就叫做元理論。 元理論是直覺的並且是非形式的一種數學，元理論將用尋常的語言來表示。根據需要也可直接引入適當的符號（稱為元符號）。在元理論中，斷言必須被理解，推理必須被確信。元理論研究所採用的方法是“有窮性方法”，即必須能給出算法。 ^[1]