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偽解
鎖定
偽解，又稱增解或額外解，英語：extraneous solution、SpuriousSolution，是在解方程的過程中產生的能滿足方程的簡化版本，但不滿足原始方程的解。
- 中文名
- 偽解
- 外文名
- extraneous solution
- 別 名
- 增解或額外解
- 英文別稱
- SpuriousSolution
偽解概念
偽解示例
因平方而引入：
將x=4代入原方程，得-2=2，可知4是偽解。
因乘以含變量的因子而引入：
解方程x=2=0 =＞ x(x+2)=x*0=0 =＞x=0,x=2
0是偽解。
因消去有理式分母而引入：
解方程：
=＞x+2=3(x-2)-6x =＞x=-2
-2使得分母為0，故-2是偽解
因消去對數而引入：
解方程：ln(2x)=ln(x) =＞ 2x=x =＞x=0
ln(0)未定義，故0是偽解
再舉個例子：
解方程：x^x^x....=a
方程左邊是無窮級數：f(0,x)=x,...,f(n+1,x)=x^f(n,x),...
要解此方程，需要假設f(n-＞∞,x)收斂於a（很明顯，對絕大多數數x，此假設都是不成立的），將此假設代入方程，得
x^a=a,於是x=
當a=2或4時，都有x=
如何判斷a=4時的解
是偽解呢？
用歸納法，很容易證明對任意的n＞=0，當x＞1時，f(n,x)是單調增函數：
f(0,x)=x在x＞1時是單調增函數；
假設f(n,x)在x＞1時是單調增函數；
對x2＞x1＞1，f(n+1,x2)=x2^f(n,x2)＞x1^f(n,x2)＞x1^f(n,x1)=f(n+1,x1)，即f(n+1,x)是增函數；
從而，對任意的n＞=0，當x＞1時，f(n,x)是單調增函數。
按單調增函數性質，若f(n-＞∞,x2)＞f(n-＞∞,x1)，則必有x2＞x1，從而a=2和4的解不可能都是
。
再單調增函數性質，對f(n-＞∞,x2)=4＞f(n-＞∞,x3)=e，則必有x2＞x3=
＞1.444，然而
＜
，從而可知：
f(n-＞∞,x)=4的解
是偽解。
不分辨解的真偽，就會得到2=f(∞,x)=4，從而得出所謂“悖論”、“數學危機”的驚人結論。
- 參考資料
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- 1. Extraneous Solution Spurious Solution ．數學詞彙[引用日期2013-09-11]
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