偏微分方程的基本解

J.（-S.）阿達馬對二階線性偏微分方程 在解析係數與非拋物（即det( α ij)≠0） 的條件，作出了以下形狀 的 基本 解 ， 式中 U、 V、 W是 ， 的解析函數，Г是 p與 p 0在度量 下 的測地距離 的平方， 　　廣義函數是研究基本解的有力工具。線性偏微分算子l的基本解即適合下式的廣義函數E（p，p0）：l(E)=δ(p-p0)，δ是狄喇克函數。當l為常係數算子時，E(p，p0)=E(p-p0)。若能作出E，則l(u)=f將有解u=E*f：l(E*f)=l(E)*f=δ*f=f。 　　對常係數偏微分算子l，利用傅里葉變換可形式地作出基本解 這裏根本 的困難是 l( ξ) 的零點將使該積分發散。20世紀50年代中期，L.赫爾曼德爾、B.馬爾格朗熱與L.埃倫普雷斯獨立克服了這個困難，證明了常係數線性 偏微分算子 基本 解 的存在。這是 偏微分方程論 的重大進展。 　　對變係數線性偏微分算子，則有必要將基本解概念推廣為擬基本解。在構造擬基本解並研究其性質與應用方面，擬微分算子與傅里葉積分算子有着根本的作用。 ^[1]