信息論基礎

本書重點介紹經典信息論的基本理論，覆蓋了經典信息論的主要內容：離散信息和連續信息的度量、離散信源和連續信源、離散信道和連續信道及其容量以及無失真信源編碼和限失真信源編碼和有噪信道編碼等重點內容。 本書深入淺出，表述簡潔；概念清晰，系統性較強。考慮信息論基礎理論性的同時又兼顧其易讀性，注重基本知識的闡述，強調物理概念和理論的理解與掌握，配以大量的例題和習題便於工科和非數學專業的學生學習。 ^[1] 

目 錄

第 1 章 緒論 1

1.1 信息的概念 1

1.2 通信系統模型 2

習題 3

第 2 章 離散信息的度量 4

2.1 概率論基本知識 4

2.1.1 樣本空間與隨機事件 4

2.1.2 概率的有關概念 5

2.1.3 全概率公式和貝葉斯公式 6

2.1.4 先驗概率和後驗概率 8

2.1.5 離散隨機變量 9

2.1.6 離散隨機變量的統計特性 11

2.2 信息度量方法的引入 12

2.3 自信息量和信息熵 13

2.3.1 自信息量的定義與含義 13

2.3.2 信息熵的定義與含義 15

2.4 聯合自信息量與聯合熵 17

2.4.1 聯合自信息量 17

2.4.2 聯合熵 19

2.5 互信息量與平均互信息量 21

2.5.1 條件自信息量 21

2.5.2 條件熵 22

2.5.3 互信息量的定義 24

2.5.4 互信息量性質 26

2.5.5 平均互信息量 29

2.6 熵的性質以及各種熵之間的關係 32

2.6.1 信息熵的性質 32

2.6.2 各種熵之間的關係 42

習題 46

第 3 章 離散信源及信源熵 50

3.1 隨機過程基本知識 50

3.1.1 概率空間 50

3.1.2 隨機過程 51

3.2 信源的數學模型和分類 54

3.2.1 信源的數學模型 54

3.2.2 信源分類 55

3.3 離散單符號信源 57

3.3.1 離散單符號信源的概念和數學模型 57

3.3.2 離散單符號信源的信息度量 58

3.4 離散多符號信源. 58

3.4.1 離散平穩信源的性質 59

3.4.2 常見的離散平穩信源 60

3.4.3 離散多符號信源的信源熵 61

3.4.4 離散平穩無記憶信源 61

3.4.5 離散平穩有記憶信源 68

3.4.6 一維離散平穩信源的信源熵 71

3.5 馬爾可夫信源 73

3.5.1 有限狀態馬爾可夫鏈 73

3.5.2 齊次馬爾可夫鏈及其平穩分佈 76

3.5.3 齊次馬爾可夫信源 81

3.5.4 m 階齊次馬爾可夫信源 88

3.6 信源的相關性和剩餘度 93

3.6.1 信源的相關性 93

3.6.2 信源剩餘度 95

習題 98

第 4 章 離散信道及其容量 102

4.1 信道的數學模型及其分類 102

4.1.1 信道的基本概念和研究方法 102

4.1.2 信道的數學模型 106

4.1.3 信道的分類 106

4.2 離散無記憶信道 107

4.2.1 離散信道的數學模型. 107

4.2.2 單符號離散信道 109

4.2.3 信道疑義度 111

4.3 離散信道中平均互信息量定理 113

4.3.1 固定信道的平均互信息量上凸函數定理 114

4.3.2 固定信源的平均互信息量下凸函數定理 115

4.4 離散無記憶擴展信道 119

4.4.1 離散無記憶擴展信道的定義 119

4.4.2 離散無記憶 N 次擴展信道的數學模型 119

4.4.3 多符號信道平均互信息量定理 122

4.4.4 N 次擴展信道平均互信息量定理 .128

4.5 信道容量 128

4.5.1 信道中平均互信息量的含義 129

4.5.2 信道容量的概念 131

4.5.3 離散無噪信道的信道容量 135

4.5.4 離散對稱信道的信道容量 137

4.5.5 一般離散信道的信道容量 141

4.5.6 離散無記憶 N 次擴展信道的信道容量 147

習題 148

第 5 章 無失真信源編碼 151

5.1 信源編碼的相關概念 151

5.1.1 無失真信源編碼的數學模型 151

5.1.2 信源編碼的分類 153

5.1.3 即時碼存在定理和構造方法 155

5.2 定長碼及定長編碼定理 156

5.2.1 唯一可譯定長碼存在的一般條件 156

5.2.2 定長編碼定理 158

5.3 變長碼和變長碼定理 162

5.3.1 Kraft 不等式和 McMillan 不等式 163

5.3.2 唯一可譯碼的判別準則 164

5.3.3 緊緻碼平均碼長界限定理 165

5.3.4 香農第一定理（無失真變長信源編碼定理） 169

5.4 變長碼的編碼方法 173

5.4.1 香農編碼 173

5.4.2 香農-費諾-埃利斯編碼 175

5.4.3 二元霍夫曼編碼 175

5.4.4 r 元霍夫曼編碼 178

習題 180

第 6 章 有噪信道編碼 183

6.1 信道編碼的基本概念 183

6.1.1 編碼信道 183

6.1.2 錯誤概率的影響因素分析 184

6.1.3 譯碼規則 185

6.2 錯誤概率與編碼方法 192

6.2.1 簡單重複編碼降低平均錯誤概率 193

6.2.2 消息符號個數 196

6.2.3 (5,2) 線性碼 197

6.3 有噪信道編碼定理 202

6.3.1 香農第二定理 202

6.3.2 有噪信道編碼逆定理 .203

6.3.3 錯誤概率的上界 204

習題 205

第 7 章 限失真信源編碼 207

7.1 失真測度 207

7.1.1 試驗信道 208

7.1.2 失真函數 208

7.1.3 平均失真 211

7.2 信息率失真函數 212

7.2.1 保真度準則與允許信道 212

7.2.2 信息率失真函數的定義 212

7.3 信息率失真函數的性質 213

7.3.1 定義域 213

7.3.2 R(D) 是 D 的下凸函數 217

7.3.3 R(D) 是嚴格遞減函數 218

7.3.4 R(D) 的典型曲線 219

7.4 信息率失真函數的計算 220

7.4.1 參量表示法求解 R(D) 220

7.4.2 參量表示法求解 R(D) 例題 226

7.5 限失真信源編碼定理和逆定理 230

7.5.1 限失真信源編碼定理（香農第三定理） 230

7.5.2 限失真信源編碼逆定理 230

習題 230

第 8 章 連續信源和連續信道 232

8.1 連續隨機變量的基礎知識 232

8.1.1 連續隨機變量與概率密度函數 232

8.1.2 聯合概率密度函數與邊緣概率密度函數 233

8.1.3 隨機變量和的概率密度函數 233

8.2 連續信源的分類和統計特性 234

8.2.1 連續信源的分類 234

8.2.2 連續信源的統計特性. 234

8.3 連續隨機變量的信息度量 236

8.3.1 連續隨機變量的熵 236

8.3.2 連續隨機變量的聯合熵、條件熵和平均互信息量 239

8.4 連續信源的信息度量 243

8.4.1 單符號連續信源的熵 .243

8.4.2 多符號連續信源的熵. 244

8.4.3 波形信源的熵率 246

8.5 連續信源的最大熵 246

8.5.1 連續信源最大熵的數學模型 246

8.5.2 瞬時功率受限連續信源的最大熵 247

8.5.3 平均功率受限連續信源的最大熵 248

8.5.4 連續信源的熵功率 249

8.6 連續信道和波形信道 251

8.6.1 連續信道的分類 251

8.6.2 波形信道的分類 252

8.7 連續信道的平均互信息量 253

8.7.1 連續信道 253

8.7.2 加性信道 254

8.8 連續信道的信道容量 256

8.8.1 連續信道的信道容量定義 256

8.8.2 一維高斯加性信道的信道容量 256

8.8.3 一維非高斯加性信道的信道容量 257

8.8.4 多維無記憶高斯加性信道的信道容量 259

8.9 波形信道的信道容量 260

8.9.1 限帶 AWGN 信道的信道容量 260

8.9.2 香農公式的意義 261

習題 263

附錄 A 凸函數的概念 265

附錄 B 吉布斯不等式 268

附錄 C 信息熵是嚴格上凸函數 270

附錄 D 馬爾可夫鏈轉移概率的漸近性質 272

附錄 E 漸近等同分割性和 典型序列 276

附錄 F 有噪信道編碼定理證明 280

參考文獻 285 ^[2]