伽羅瓦對應

令（A，≤）和（B，≤）是兩個部分有序集。 這些有序集之間的單調伽羅瓦對應由兩個單調函數組成：F：A→B和G：B→A，使得對於B中的A和b中的所有a，我們有：當且僅當a≤G（b）時，F（a）≤b。

在這種情況下，F稱為G的下連接，G稱為F的上連接。語法上，上/下術語是指功能應用出現相對於≤的位置術語“伴隨”是指單調伽羅瓦對應是類別理論中的一對伴隨函子的特殊情況，如下文進一步討論的。 這裏遇到的其他術語對於較低（分別上）的伴隨是左鄰近（分別右伴）。

伽羅瓦對應的基本屬性是，伽羅瓦對應的上/下伴隨唯一地確定另一個：

F（a）是最少的元素^〜b，因為a≤G（^〜b），和G（b）是最大的元素^〜a，因為F（a）≤b。

其結果是，如果F或G是可逆的，則每個都是另一個的倒數，即F = G ^-1。

給定與較低的伴隨F和上部伴隨G的伽羅瓦連接，我們可以考慮被稱為關聯閉包算子的組合GF：A→A，稱為關聯核函數的FG：B→B。 兩者都是單調和冪等的，我們對於A中的所有a和b（b）中的所有b都有≤GF（a）。

A到B的伽羅瓦插入是伽羅瓦對應，其中閉包算子GF是A上的。 ^[1] 

上述定義在當今的許多應用中是常見的，在晶格和域理論中是突出的。 然而伽羅略理論中的原始概念略有不同。 在這種替換的定義中，伽羅瓦對應是兩個有序集 A和B之間的一對反序，即順序反轉的函數F：A→B和G：B→A，使得b≤F（a）當且僅當a≤G（b）。

這個版本中F和G的對稱性擦除了上下的區別，這兩個函數被稱為極性，而不是伴隨。因為每個極性唯一地確定另一個：

F（a）是a≤G（b）的最大元素b，

G（b）是b≤F（a）的最大元素a。

GF：A→A和FG：B→B是相關的封閉算子;；它們是單體冪等地圖，對於B中的所有b，對於A中的所有a和b≤GFR（b），屬性a≤GF（a）。

伽羅瓦對應的兩個定義的含義非常相似，因為A和B之間的一個反斜線伽羅瓦對應只是A與B的雙B^op之間的單調伽羅瓦對應。所以在伽羅瓦對應上的所有以下語句可以很容易地 轉換成關於伽羅瓦對應的聲明。

對於一個有序理論的例子，讓U是一些集合，並且讓A和B都是通過包含排序的U的冪集。 選擇U的固定子集L.然後，F（M）= L∩M和G（N）= N∪（U \ L）的映射F和G形成單調伽羅瓦對應，F為較低伴隨。 任何Heyting代數都可以找到一個類似的伽羅瓦對應，它的下連接由meet（infimum）操作給出。 特別地，它存在於任何布爾代數中，其中兩個映射可以由F（x）=（a∧x）和G（y）=（y∨àa）=（a⇒y）描述。

關於伽羅瓦對應的其他有趣的例子在關於完整性的文章中有描述。 粗略地説，事實證明，通常的函數∨和∧是較低的，並且上部與對角線映射X→X×X相鄰。部分階的最小和最大的元素由獨特的函數X→{1}。 進一步，甚至完整的格子可以通過存在合適的伴隨來表徵。 這些考慮給出了伽羅瓦對應在秩序理論中普遍存在的一些印象。

選擇一些具有基礎集合的數學對象X，例如組，環，向量空間等。對於X的任何子集S，令F（S）是包含S的X的最小子對象，即子組，子環 或由S生成的子空間。對於X的任何子對象U，令G（U）是U的底層集合（我們甚至可以將X作為拓撲空間，令F（S）為S的關閉，並以 “X的子對象”X的閉合子集。）現在，F和G在X的子集和X的子對象之間形成單調的伽羅瓦對應，如果兩者都是通過包含的順序排列的。

威廉·勞威爾的一個非常一般的評論是語法和語義是伴隨的：將A作為所有邏輯理論（公理化）的集合，而B是所有數學結構集合的權力集合。 對於理論T∈A，令F（T）是滿足公理T的所有結構的集合; 對於一組數學結構S，令G（S）是逼近S的公理化的最小值。然後，當且僅當T邏輯地表示G（S）時，F（T）是S的子集： “語義函子”F和“語法函子”G形成單調的伽羅瓦對應，其語義是較低的伴隨。

例子來自伽羅瓦理論：假設L / K是一個字段擴展。 令A是包含K的L的所有子場的集合，由包含，排序。 如果E是這樣一個子場，則為保持E固定的L的場自動化組寫Gal（L / E）。 令B為Gal（L / K）子集，由包含，排序。 對於這樣一個小組G，將Fix（G）定義為由G的所有元素保持固定的L的所有元素組成的字段。然後映射E↦Gal（L / E）和G↦Fix（G）形式 一個反義詞伽羅瓦對應。

給定內積空間V，我們可以形成V的任何子空間X的正交補碼F（X）。這產生了通過包含排序的V與其本身的子空間集合之間的一個二次伽羅瓦對應；兩個極性都等於F。

給定向量空間V和V的子集X，我們可以定義F（X），其由在V上消失的V的雙重空間V *的所有元素組成。類似地，給定V *的子集Y，我們定義 其殲滅者G（Y）= {x∈V | φ（x）= 0∀φ∈Y}。 這給出了V的子集與V *的子集之間的一個反斜線伽羅瓦對應。 ^[2] 

在下文中，我們考慮（單調伽羅瓦對應f =（f *，f *），其中f *：A→B是上面引入的較低伴隨。 一些有幫助和指導性的基本屬性可以立即獲得。 通過伽羅瓦對應的定義屬性，對於A中的所有x，f *（x）≤f*（x）等於x≤f*（f *（x））。通過類似的推理（或僅通過應用 對於秩序理論的二重性原則），對於B中的所有y，我們發現f *（f *（y））≤y。這些屬性可以通過説複合函數f * o f *是通縮來描述。

現在考慮x，y∈A，使得x≤y，然後使用上述得到x≤f*（f *（y））。 應用伽羅瓦對應的基本屬性，現在可以得出f *（x）≤f *（y）。 但這只是表明f *保留任何兩個元素的順序，即它是單調的。 同樣，類似的推理也會產生f *的單調性。 因此，明確地不必將單調性納入定義。 然而，提到單調性有助於避免對伽羅瓦對應的兩個替代概念的混淆。

伽羅瓦對應的另一個基本屬性是對於B中的所有x，f *（f *（f *（x）））= f *（x）。顯然，我們發現 f_∗( f( f_∗(x))) ≥  f_∗(x)，因為f * o f *是如上所示的通貨膨脹。 另一方面，由於f *○f *是通貨緊縮，而f *是單調的，所以發現 f_∗( f( f_∗(x))) ≤  f_∗(x)。

此外，我們可以使用這個屬性來得出結論 f( f_∗( f( f_∗(x)))) =  f( f_∗(x))，和 f_∗( f( f_∗( f(x)))) =  f_∗( f(x))，f * o f *和f * o f *是冪等的。當且僅當f是殘差映射（相應的殘差映射）時，可以顯示（見Blyth或Erné），函數f是較低（相應的）上限。 因此，殘差映射和單調伽羅瓦連接的概念基本相同。 ^[3] 

上述發現可概括如下：對於伽羅瓦對應，複合f * o f *是單調（單調函數的複合），通貨膨脹和冪等冪。這説明f * o f *實際上是A上的閉包算子。雙重，f * o f *是單調的，通貨緊縮的和冪等的。這種映射有時被稱為內核操作符。在幀和區域的上下文中，複合f * o f *被稱為由f引起的核。核誘導框架同態;如果一個區域的一個子集是由一個核子賦予的，則稱為一個子集。

相反地，在某些有序集A上的任何閉合運算符c產生伽羅瓦對應，較低的伴隨f *只是對c的圖像的c的集中度（即作為對閉合系統c（A）的映射映射））。然後，通過將A（A）包含在A中，將每個關閉元素映射到自身，將其視為A的一個元素，給出上部伴隨f *。這樣，閉合運算符和Galois連接被認為是密切相關的，每個都指定另一個的實例。類似的結論也適用於內核運算符。 ^[4] 

上述考慮還表明，A（元素x與f *（f *（x））= x）的閉合元素被映射到內核運算符f * o * *範圍內的元素，反之亦然。