伽利略變換

伽利略變換建基於人們加減物體速度的直覺。在其核心，伽利略變換假設時間和空間是絕對的。

這項假設在洛倫茲變換中被捨棄，因此就算在相對論性速度下，洛倫茲變換也是成立的；而伽利略變換則是洛倫茲變換的低速近似值。

以下為伽利略變換的數學表達式，其中(x,y,z,t)和(x′,y′,z′,t′)分別為同一個事件在兩個座標系S和S'中的座標。兩個座標系以相對均速運行（速度為v），運行方向為x和x′，原點在時間為t=t'=0時重合。 ^[1] 

x'=x-vt；

z'=z；

t'=t。

最後一條方程式意味着時間是不受觀測者的相對運動影響的。

利用線性代數的術語來説，這種變換是個錯切，是矩陣對向量進行變換的一個過程。當參考系只沿着x軸移動時，伽利略變換隻作用於兩個分量：

雖然在伽利略變換中沒有必要用到矩陣表達法，但是用了矩陣就可以和狹義相對論中的變換法進行比較。

伽利略變換可以唯一寫成由時空的旋轉、平移和均速運動複合而成的函數。設x為三維空間中的一點，t為一維時間中的一點。時空當中的任何一點可以表達為有序對（x,t）。速度為v的均速運動表達為：

（X，t）→（X+tv，t），其中v在R³內。

平移表達為：

（X，t）→（X+a，t+b），其中a在R³內，b在R內。

旋轉表達為：

（X，t）→（GX，t），其中G：R³ → R³為某正交變換。作為一個李羣，伽利略變換的維度為10。

伽利略變換與牛頓的絕對時間、絕對空間的概念有關。這裏所謂絕對是指長度的量度與時間的量度均與參考系的運動或參考系的選擇無關。現代物理學中，電、磁、光學現象所符合的相對性原理與伽利略變換髮生了尖鋭的矛盾，因此在狹義相對論中修改了絕對時空的概念，空間和時間遵從洛倫茲變換。這時長度與時間的量度都與參考系的速度有關。不過在運動速度遠小於光的速度時，洛倫茲變換近似等於伽利略變換 ^[2]  。

這裏我們只考慮伽利略羣的李代數。結果能夠輕易延伸到李羣。L的李代數由H、P_i、C_i和L_ij張成（反對稱張量），並能夠受交換子的作用，其中

H為時間平移的生成元（哈密頓算符），P_i為平移的生成元（動量算符），C_i為伽利略變換的生成元，而L_ij為旋轉的生成元（角動量算符）。

我們可以對H'、P'_i、C'_i、L'_ij（反對稱張量）、M所張成的李羣進行中心擴張，使得M與一切都可交換（位於中心，“中心擴張”因此得名）：