仿射不變量

給定一組多項式，設

是由這組多項式的係數所決定的函數，G是作用在這些係數上的變換羣，如果經過變換羣G作用後函數值

不變，就稱

為這組多項式或由這組多項式所組成的方程組在變換羣G作用下的不變量(invariant)。當G分別代表運動羣、仿射羣和射影羣時，相應的不變量

稱為“度量不變量”、“仿射不變量”和“射影不變量”。例如， 在平面上，關於座標x、y的二次方程

在運動羣G作用下有三個度量不變量：

其中記

，在平面直角座標系中上述二次方程代表,一條二次曲線，

也稱為二次曲線的度量不變量，按照它們的符號，能夠對二次曲線作出度量分類，尋找和研究不變量，是幾何學中一個重要的問題 ^[2]  。

分比(proportion by subtraction)亦稱“單比”，直線上三點P₁、P₂、P₃的分比是

。分比是仿射不變量，而且是基本不變量，即：任一仿射不變量都可用分比的一個函數來表達 ^[2]  。

圖形經過任何仿射變換後都不變的性質(量)，稱為圖形的仿射性質(仿射不變量)。

注：同素性，結合性，平行性和共線三點單比不變是基本的仿射性質。

有關仿射性質的一些定理和推論：

定理1 兩條平行直線經過仿射變換後仍變為兩條平行直線。

推論1 兩條相交直線經過仿射變換後仍變為兩條相交直線。

推論2 共點直線經仿射變換後，仍變為共點直線。

定理2 兩條平行線段之比是仿射不變量.

定理3 兩個三角形面積之比是仿射不變量。

推論1 兩個多邊形面積之比是仿射不變量。

推論2 兩個封閉圖形面積之比是仿射不變量 ^[3]  。

例1 兩條平行線段之比是仿射不變量 ^[3]  。

證明 設線段AB平行於線段CD，經過仿射變換後，其對應線段A'B'C'D'互相平行，下面我們只須證明

如圖1所示連接BD，作CE // BD交AB於E。由於仿射變換保持結合性和平行性，所以E的對應點E'在A'B'上，且C'E' // B'D'，又因為仿射變換保持共線三點的單比，所以有

即

而

所以

綜上所述，兩條平行線段之比經仿射變換後不變 ^[3]  。