以牙還牙

以牙還牙策略首次在阿克塞爾羅德競賽（TheAxelrod Tournaments）中被數學家阿納託·拉普伯特（Anatol Rapoport）提出，並在競賽中取得了最佳的成績 ^[1]  。阿克塞爾羅德競賽是由密歇根大學社會學家羅伯特·阿克塞爾羅德（RobertAxelrod）舉辦的計算機排名賽，人們可以提出自己的策略並向競賽提交，所提交的策略會和其他策略相遇，均進行200輪的囚徒困境博弈，並計算總得分。在前兩次阿克塞爾羅德競賽中，以牙還牙策略均獲得了第一名。在第三次帶有淘汰機制的競賽中，以牙還牙策略淘汰了所有其他策略。

在無限期重複囚徒困境博弈中，由於重複輪次的不確定性，無法運用逆向歸納法求解博弈。此時我們可以設計一些特定的策略，例如：

以牙還牙策略相比某些參與阿克塞爾羅德競賽的複雜策略，如涉及到探測對手弱點並加以利用或者引入隨機性的策略相比，是非常簡單的策略。雖然由於個體的收益總是取決於他人的選擇，故無法證明以牙還牙是重複囚徒困境博弈中的最佳策略，但是仍可以總結出以牙還牙的一些關鍵性質。阿克塞爾羅德指出，以下四個特徵可能是其在競賽中獲勝的主要原因。

以牙還牙策略模仿對手之前的選擇。如果玩家1一直選擇合作（C），玩家2使用以牙還牙策略，則他們將永遠合作下去。

如果兩個使用以牙還牙策略進行重複囚徒困境博弈，一旦對手由於偶然因素偏離合作而選擇背叛(D)，玩家會立即做出迴應，在下一輪背叛。例如下表中，玩家1在首輪中偏離了合作，導致使用TFT策略的雙方不斷輪流背叛。

以牙還牙策略沒有容錯機制。現實世界存在偶然因素，假如對手可能不是主動背叛，而是發出了一個錯誤信號，或者被誤解了，就會立刻遭到以牙還牙策略的報復。兩名使用以牙還牙策略的玩家進行博弈時，一旦對手選擇背叛（不一定出於本意），玩家會下一輪背叛。從此使用以牙還牙策略的雙方不斷相互背叛，形成惡性循環。

TFT策略有很多變體，這些變體在某些方面或在某種外部情況下有着優於TFT的表現 ^[2]  。

兩牙還一牙（Tit for twotats，縮寫為TF2T）與TFT類似，但在對手連續兩次背叛後才選擇背叛。這使得使用TF2T策略的玩家對顯得更寬容。這個策略是由羅伯特·阿克塞爾羅德在第二次阿克塞爾羅德競賽中提出的。在分析了第一次競賽的結果後，他認為TF2T策略的累計得分會比其他策略的都高。不幸的是，由於參加第二次競賽的策略具有更強的攻擊性，它們能夠利用TF2T高度寬容的本性，因此TF2T的表現比TFT糟糕。

大度的TFT（Generous Tit-for-tat）是指在對方上一輪背叛時，本輪不一定選擇背叛的一類策略。當對方上一輪選擇背叛時，本輪以概率p選擇背叛。大度的TFT策略表現得更加寬容，可以有效避免兩個TFT的策略博弈時，由於意外因素產生的背叛導致合作無法再次達成的問題。

懷疑的TFT首輪選擇背叛而不是合作。考慮TFT策略進入一個合作水平較低的羣體，例如與始終背叛的策略相遇，TFT會在首輪選擇合作，從而被其他首輪背叛的策略獲得更高的收益。而懷疑的TFT可以避免這一點。