代數基本定理

《代數基本定理》對數學中最重要的定理——代數基本定理給出了六種證明，方法涉及到分析、代數與拓撲等數學分支。《代數基本定理》的六個證明：兩個分析方法中一個（本質上）是運用實分析中的兩維極值定理，一個是運用標準的複分析方法，也就是經典的Liouville定理；兩個代數方法中一個是運用多項式環的知識，一個是運用域擴張的Galois定理：兩個拓撲方法中一個是運用分枝數的計算，另一個是運用單位球的基本羣。此外附錄中給出了Gauss的證明，cauchy的證明，三個另外的反分析證明以及兩個另外的拓撲證明。

《代數基本定理》以一個問題為主線，縱橫數學的幾乎所有領域，結構嚴謹、文筆流暢、淺顯易懂、引人入勝，是一本少見的能讓讀者入迷的好讀物，可以使讀者與作者在書中很好地進行對話與交流。通過學習《代數基本定理》，讀者可以增加知識面，加深對學科交叉與滲透的理解和認識。不足之處是各種方法之間缺乏進行比較的描寫和分析。

《代數基本定理》適合高年級大學生、研究生自學和討論，特別適合於用作短學期教材或數學選修類課程教材。 ^[1] 

Preface

1 Introduction and Historical Remarks Complex Numbers

2.1 Fields and the Real Field

2.2 The Complex Number Field

2.3 Geometrical Representation of Complex Numbers

2.4 Polar Form and Euler's Identity

2.5 DeMoivre's Theorem for Powers and Roots Exercises

3 Polynomials and Complex Polynomials

3.1 The King of Polynomials over a Field

3.2 Divisibility and Unique Factorization of Polynomials

3.3 Roots of Polynomials and Factorization

3.4 Real and Complex Polynomials

3.5 The Fundamental Theorem of Algebra: Proof One

3.6 Some Consequences of the Fundamental Theorem Exercises

4 Complex Analysis and Analytic Functions

4.1 Complex Functions and Analyticity

5 Complex Integration and Cauchy's Theorem

6 Fields and Field Extensions

7 Galois Theory

8 Topology and Topological Spaces

Algebraic Topology and the Final Proof

Appendix A: A Version of Gauss's Original Proof

Appendix B: Cauchy's Theorem Revisited

Appendix C: Three Additional Complex Analytic Proofs of the Fundamental Theorem of Algebra

Appendix D: Two More Topological Proofs of the Fundamental Theorem of Algebra

Bibliography and References

Index